Teoría espectral y soluciones para las matrices infinitas
El álgebra lineal se basa en la conocida ecuación de una línea recta, y = mx + b, donde m es la pendiente de la línea y b su punto de corte con el eje y. Si b=0, la ecuación se transforma en y=mx, o mx=y. Esta sencilla ecuación se vuelve más compleja cuando examinamos sistemas de ecuaciones representados por matrices. En la ecuación matricial Ax=b, la matriz A se denomina formalmente operador, y actúa sobre el factor x para producir b. No obstante, para matrices muy grandes o infinitas, a menudo el álgebra lineal no es adecuada para resolver los problemas asociados a ellas. El proyecto Infinitematrices («Espectros, propiedades de Fredholm y aproximación estable de las matrices infinitas») se propuso desarrollar formas de obtener información del espectro a partir de matrices infinitas. Para ello, se desarrollaron nuevos métodos para la resolución de sistemas lineales infinitos y los resultados se aplicaron a operadores específicos importantes para la teoría ondulatoria acústica y electromagnética (EM) y para la mecánica cuántica. Los investigadores estudiaron los espectros de matrices infinitas y analizaron el comportamiento asintótico de los elementos de las matrices para determinar los espectros fundamentales. También estudiaron submatrices principales finitas para obtener información sobre otras partes del espectro. Este trabajo desembocó en nuevos límites superiores para los espectros, complementarios de los límites inferiores deducidos previamente. Los investigadores también buscaron métodos para resolver sistemas lineales infinitos (descritos por matrices infinitas) mediante innovadoras técnicas de truncamiento. Buscaban superar las limitaciones del método convencional, extrayendo submatrices cuadradas finitas de la original y resolviendo estas matrices más pequeñas. Un estudio riguroso permitió garantizar la convergencia que a menudo escapa a los métodos de truncamiento convencionales, evitando matrices de determinados tamaños y utilizando submatrices rectangulares en lugar de cuadradas. Finalmente, además de demostrar que estas técnicas matemáticas son de aplicación general para resolver matrices infinitas, también las aplicaron a operadores específicos relevantes para la teoría ondulatoria EM así como para la mecánica cuántica. De esta forma, el proyecto Infinitematrices, financiado por la Unión Europea, ha llevado a avances significativos en teoría espectral y a una aproximación estable para las matrices infinitas que debería poder aplicarse en numerosos campos de la ingeniería y las ciencias naturales.
