Teoria spettrale e risoluzione di matrici infinite
L'algebra lineare è basata sulla ben nota equazione di una linea, y=mx+b, dove m rappresenta l'inclinazione della linea e b la relativa intersezione y. Se b=0, l'equazione diventa y=mx oppure mx=y. Questa semplice equazione diventa leggermente più complessa se analizziamo i sistemi di equazioni rappresentati dalle matrici. Nell'equazione della matrice Ax=b, la matrice A è ufficialmente chiamata "l'operatore", che agisce sull'input x per produrre l'output b. Tuttavia, per matrici molto grandi o infinite, l'algebra lineare è spesso inadeguata per la risoluzione dei problemi associati. Il progetto Infinitematrices ("Spectra, fredholm properties and stable approximation of infinite matrices") si è proposto di sviluppare metodi di acquisizione delle informazioni spettrali associate alle matrici infinite, creare metodi innovativi di risoluzione di sistemi lineari infiniti e applicare i risultati a operatori specifici importanti per la teoria delle onde acustiche ed elettromagnetiche (EM) e per la meccanica quantistica. I ricercatori hanno studiato gli spettri di matrici infinite e analizzato il comportamento asintotico degli inserimenti delle matrici per la definizione di spettri essenziali. Sono anche state studiate le principali sottomatrici finite per la determinazione delle informazioni relative ad altre parti degli spettri. Questo lavoro ha condotto a nuovi confini superiori derivati sugli spettri che integrano i confini inferiori derivati in precedenza. I ricercatori si sono anche occupati di metodi di risoluzione di sistemi lineari infiniti (descritti dalle matrici infinite) utilizzando tecniche di troncamento innovative. Gli esperti hanno cercato di superare i limiti del metodo tradizionale, "tagliando" le sottomatrici quadrate finite dalle originali e risolvendo quelle più piccole. Uno studio rigoroso ha consentito loro di garantire la convergenza che elude spesso i metodi di troncamento tradizionali evitando talune dimensioni di matrici e utilizzando sottomatrici rettangolari anziché quadrate. Infine, i ricercatori hanno dimostrato non solo l'uso generale di queste tecniche matematiche nella risoluzione di matrici infinite, ma le hanno anche applicate a operatori specifici rilevanti per la teoria delle onde acustiche ed EM nonché per la meccanica quantistica. Di conseguenza, il progetto Infinitematrices, finanziato dall'UE, ha condotto a progressi significativi nella teoria spettrale e nell'approssimazione stabile di matrici infinite che dovrebbero essere adatte a numerosi ambiti delle scienze naturali e ingegneristiche.
