Théorie spectrale et résolution de matrices infinies
L'algèbre linéaire repose sur l'équation bien connue d'une droite, y=mx+b, où m est la pente de la droite et b son point d'intersection avec l'axe y. Si b=0, l'équation devient y=mx, ou mx=y. Cette simple équation se complique légèrement lorsque les systèmes d'équations sont représentés par des matrices. Dans l'équation matricielle Ax=b, la matrice A, officiellement dénommée opérateur, agit sur l'entrée x pour générer la sortie b. Toutefois, dans le cas de très grandes matrices ou de matrices infinies, l'algèbre linéaire est souvent inadaptée pour résoudre les problèmes associés. L'objectif du projet Infinitematrices («Spectra, fredholm properties and stable approximation of infinite matrices») était de développer des moyens de calcul d'informations spectrales associées à des matrices infinies, de développer des moyens innovants de résolution de systèmes linéaires finis, et d'appliquer les résultats à des opérateurs spécifiques importants pour la théorie des ondes acoustiques et électromagnétiques (EM) et la mécanique quantique. Les chercheurs ont étudié le spectre de diverses matrices infinies et ont analysé le comportement asymptotique des entrées des matrices afin de déterminer le spectre essentiel. Ils ont également étudié des sous-matrices principales finies afin de déterminer des informations relatives à d'autres parties du spectre. Ce travail a permis d'aboutir au calcul de nouvelles limites supérieures du spectre, en complément des limites inférieures calculées antérieurement. Les chercheurs ont également examiné des méthodes de résolution de systèmes linéaires infinis (décrits par des matrices infinies) au moyen d'innovantes techniques de troncature. Leur objectif était de contourner les limites de la méthode classique, en «divisant» la matrice originale en sous-matrices carrées finies, puis en résolvant ces sous-matrices plus petites. Une étude rigoureuse leur a permis de garantir la convergence qui élude souvent les méthodes de troncature classiques en évitant certaines tailles de matrice et en utilisant des sous-matrices rectangulaires plutôt que carrées. Finalement, non seulement les chercheurs ont-ils mis en avant l'utilisation générale de ces techniques mathématiques dans la résolution de matrices infinies, mais ils en ont également trouvé une application dans la théorie des ondes acoustiques et EM ainsi qu'en mécanique quantique. Ainsi, le projet Infinitematrices financé par l'UE a donné lieu à des avancées significatives dans la théorie spectrale et l'approximation stable des matrices infinies, qui devraient avoir des retombées dans de nombreux champs des sciences naturelles et de l'ingénieur.
