Teoria spektralna a rozwiązanie macierzy nieskończonych
Algebra liniowa opiera się w dobrze znanym równaniu liniowym y=mx+b, w którym m to nachylenie prostej, natomiast b to jej punkt przecięcia z osią y. Jeżeli b=0, równanie przyjmuje postać y=mx lub mx=y. To poste równanie staje się nieco bardziej złożone, gdy spojrzymy na układy równań reprezentowanych przez macierze. W równaniu macierzowym Ax=b, macierz A oficjalnie zwana jest operatorem, działającym na wartość wejściową x w celu uzyskania wartości wynikowej b. Jednakże w przypadku macierzy bardzo dużych lub nieskończonych algebra liniowa często nie wystarcza do rozwiązywania związanych z tym problemów. W ramach projektu "Widma, własności Fredholma i stabilna aproksymacja macierzy nieskończonych" (Infinitematrices) podjęto się opracowania sposobów pozyskania informacji spektralnych związanych z matrycami nieskończonymi, opracowania innowacyjnych metod rozwiązywania nieskończonych układów liniowych oraz zastosowania wyników do specjalnych operatorów ważnych w kontekście teorii fal akustycznych i elektromagnetycznych (EM) oraz mechaniki kwantowej. Naukowcy zbadali widma macierzy nieskończonych oraz przeanalizowali zachowanie asymptotyczne wartości macierzowych w celu określenia widm podstawowych. Zbadali także skończone podmacierze podstawowe, aby określić informacje o innych częściach widma. Praca ta doprowadziła do wyznaczenia nowych granic górnych widma, które uzupełniły granice dolne wyprowadzone wcześniej. Naukowcy zajęli się także metodami rozwiązywania nieskończonych układów liniowych (opisywanych przez macierze nieskończone) za pomocą innowacyjnych technik obcinania. Ich celem było pokonanie ograniczeń narzucanych przez metodę konwencjonalną, poprzez wycięcie skończonych podmacierzy kwadratowych z macierzy pierwotnej i rozwiązanie tych mniejszych. Rygorystyczne badania pozwoliły im zagwarantować zbieżność, która często umyka konwencjonalnym metodom obcinania, poprzez uniknięcie pewnych rozmiarów macierzy oraz zastosowanie macierzy prostokątnych zamiast kwadratowych. Wreszcie badacze zademonstrowali nie tylko ogólne zastosowanie tych technik matematycznych do rozwiązywania macierzy nieskończonych, ale także przyłożyli je do określonych operatorów istotnych w teorii fal akustycznych i elektromagnetycznych oraz mechanice kwantowej. W ten sposób finansowany przez UE projekt Infinitematrices spowodował istotny rozwój teorii spektralnej oraz stabilnej aproksymacji macierzy nieskończonych, które powinny znaleźć zastosowanie w wielu dziedzinach nauk inżynieryjnych i przyrodniczych.