Spektraltheorie und die Lösung unendlicher Matrizen
Lineare Algebra beruht auf der wohlbekannten linearen Gleichung für eine Gerade y=mx+b, wobei m die Geradensteigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Ist b=0, wird die Gleichung zu y=mx oder mx=y. Betrachtet man Gleichungssysteme, die durch Matrizen dargestellt werden, so gestaltet sich diese einfache Gleichung etwas komplizierter. In der Matrixgleichung Ax=b bezeichnet man die Matrix A als Operator, die auf den Eintrag x einwirkt und das Ergebnis b erzeugt. Bei sehr großen oder unendlichen Matrizen ist die lineare Algebra jedoch oft unzureichend, um die entsprechenden Probleme lösen zu können. "Spectra, fredholm properties and stable approximation of infinite matrices", das Infinitematrices-Projekt, hatte die Aufgabe, Wege zu entwickeln, um mit unendlichen Matrizen verbundene spektrale Informationen abzuleiten, innovative Wege zur Lösung unendlicher linearer Systeme zu entwickeln und die Ergebnisse auf bestimmte Operatoren anzuwenden, die für die Theorie akustischer und elektromagnetischer Wellen sowie die Quantenmechanik von Bedeutung sind. Die Forscher untersuchten die Spektren unendlicher Matrizen und analysierten das asymptotische Verhalten der Matrixeinträge, um das wesentliche Spektrum zu bestimmen. Sie untersuchten außerdem endliche Hauptteilmatrizen, um Informationen über andere Teile der Spektren zu ermitteln. Diese Arbeit führte zu abgeleiteten neuen Obergrenzen der Spektren hin, die die vorhergehend abgeleiteten Untergrenzen ergänzten. Die Forscher widmeten sich überdies Verfahren zur Lösung unendlicher linearer Systeme (beschrieben durch unendliche Matrizen), wobei sie innovative Trunkierungsverfahren zum Einsatz brachten. Sie versuchten, die Grenzen der konventionellen Verfahren zu überwinden, indem sie endliche quadratische Teilmatrizen aus dem Original "ausschnitten" und die kleineren Matrizen dann lösen konnten. Eine gründliche Untersuchung ermöglichte es ihnen, die sich oft konventionellen Trunkierungsverfahren entziehende Konvergenz garantieren zu können, indem bestimmte Matrixgrößen vermieden und rechteckige anstelle von quadratischen Untermatrizen verwendet wurden. So konnten die Forscher nicht nur die allgemeine Anwendung dieser mathematischen Methoden beim Lösen unendlicher Matrizen demonstrieren, sondern diese auch auf spezielle Operatoren anwenden, die sowohl für die akustische und elektromagnetische Wellentheorie als auch für die Quantenmechanik relevant sind. Auf diese Weise erbrachte das von der EU finanzierte Infinitematrices-Projekt bedeutende Fortschritte in der Spektraltheorie und stabile Näherungen unendlicher Matrizen, die in zahlreichen Gebieten der Ingenieur- und Naturwissenschaften anwendbar sein sollten.
