Plus qu'une simple longueur, largeur et hauteur
Des scientifiques de domaines allant de la théorie des probabilités à la physique quantique en passant par la mécanique statistique étudient des problèmes mathématiques faisant intervenir des espaces géométriques ayant beaucoup plus que trois dimensions, en théorie proches de l'infini. Ils ont pour cela recours à des méthodes numériques complexes qui leur permettent de simplifier la compréhension de leurs solutions. Le projet GPHDPD («Geometric phenomena in high-dimensional probability distributions») repose sur l'idée que, contrairement à la croyance populaire, lorsque de nombreuses dimensions sont envisagées sous le bon angle, elles se traduisent par ordre et simplicité plutôt que par complications. Lors de l'établissement du premier rapport du projet GPHDPD, les chercheurs ont mis en relation deux théories apparemment sans rapport relatives à des espaces géométriques convexes de dimensions élevées. La première concerne le problème de découpage, qui définit essentiellement, d'un point de vue mathématique, une section similaire à un plan (hyperplan) qui coupe un corps convexe à n dimensions avec des critères mathématiques spécifiques. La deuxième a trait au théorème fondamental des mathématiques, le théorème central limite, qui affirme que lorsque le nombre d'échantillons d'une population augmente, la distribution de probabilité de la moyenne se rapproche d'une distribution normale (la courbe dite en cloche). Les chercheurs sont parvenus à démontrer que la deuxième affirmation implique la première, un résultat important et particulièrement inattendu. En outre, les chercheurs ont réussi à démontrer un important théorème mathématique ayant trait à la simplification de mesures de probabilité de dimensions élevées, en relation avec les symétries approximatives et les marges dites presque radiales. Ainsi, jusqu'à présent, le projet GPHDPD a apporté son concours à deux nouvelles démonstrations mathématiques relatives à des phénomènes géométriques dans les distributions de probabilité de dimensions élevées, avec une grande application aux probabilités et aux statistiques dans un grand nombre (infini?) de domaines.
