Descripciones matemáticas de sistemas dinámicos Las ecuaciones matemáticas se usan para describir el mundo que nos rodea en campos tan aparentemente distintos como la física cuántica, la química, la astronomía y la electrónica. Investigadores con respaldo económico de la Unión Europea están resolviendo problemas importantes relacionados con el comportamiento de los sistemas dinámicos usando una combinación de teorías cuya importante interrelación se ha demostrado recientemente. Tecnologías industriales © Thinkstock La teoría de conjuntos es fundamental para el estudio de las matemáticas y su aplicación al comportamiento de los sistemas. Está basada en el concepto de pertenencia, según el cual un conjunto de objetos (que en matemáticas pueden ser números, puntos, funciones, etc.) puede pertenecer a otro del mismo modo que el primer curso de la escuela primaria «pertenece» al conjunto de la escuela primaria. La teoría descriptiva de conjuntos, subconjunto de la teoría de conjuntos, es un área de las matemáticas que se ocupa del estudio de la estructura de los conjuntos definibles de números reales (en contraposición a los enteros). La manipulación de estos conjuntos, que esencialmente consiste en combinarlos de distintas maneras, constituye la esencia de las álgebras de operadores. El término se refiere a las estructuras algebraicas en las que un operador lineal combina dos vectores para formar un tercer vector. Una analogía simple sería el conjunto de los enteros, en donde el «operador» de multiplicación combina dos enteros para formar un tercer entero. Recientemente se han hecho grandes progresos en la interfaz entre álgebras de operadores, teoría descriptiva de conjuntos y teoría ergódica. La teoría ergódica tiene que ver con el comportamiento de sistemas dinámicos en intervalos de tiempo muy largos. Tiene sus orígenes en teoremas debidos a von Neumann, entre otros. En general, un sistema ergódico «olvida» su estado inicial y muestra siempre el mismo comportamiento (estadístico y cualitativo) en promedio temporal cuando se le permite variar durante largos períodos de tiempo, sin importar las condiciones iniciales. Investigadores europeos respaldados económicamente a través del proyecto DSTOA («Teoría descriptiva de conjuntos y álgebras de operadores») se propusieron resolver problemas matemáticos que combinan la teoría descriptiva de conjuntos y el álgebra de operadores y que podrían resultar aplicables y pertinentes para el caso de los sistemas ergódicos. Numerosos resultados se han logrado hasta la fecha, en particular en lo relacionado con la rigidez en álgebras de von Neumann y la llamada equivalencia de von Neumann surgida a partir de las llamadas acciones de grupo ergódicas libres a.e. que preservan la medida. La investigación restante acerca de las acciones de grupo y los fenómenos de rigidez y sus álgebras de von Neumann asociadas podría mejorar las descripciones matemáticas de la ergodicidad y, quizás, en un futuro permitir su aplicación a procesos pertinentes para la industria.
