Descriptions mathématiques des systèmes dynamiques
La théorie des ensembles est fondamentale à l'étude des mathématiques et son application relative au comportement de systèmes. Elle est basée sur le concept d'adhésion, le fait qu'un ensemble d'objets (en mathématique, faisant référence aux nombres, points, fonctions, etc.) fait partie d'un autre ensemble, pratiquement de la même façon que le cours préparatoire (CP) en primaire fait «partie» de l'ensemble des classes du primaire. La théorie descriptive des ensembles, un sous-ensemble de la théorie des ensembles, est une branche des mathématiques qui concerne l'étude de la structure des ensembles définissables de nombres réels (par rapport aux nombres premiers). La manipulation de ces ensembles, essentiellement en les combinant de différentes façons, est la base des algèbres d'opérateurs. Ce terme renvoie aux structures algébriques dans lesquelles un opérateur linéaire combine deux vecteurs pour en former un troisième (ce calcul simple est l'ensemble de nombres entiers dans lequel l'«opérateur» de multiplication agissant sur deux nombres entiers donne un troisième nombre entier). Récemment, des progrès appréciables ont été réalisés au niveau de l'interface des algèbres d'opérateurs, de la théorie descriptive des ensembles et de la théorie ergodique. La théorie ergodique s'intéresse au comportement des systèmes dynamiques sur des périodes de temps très longues et tire son origine des théorèmes de von Neumann, entre autres. D'une manière générale, un système ergodique «oublie» son état initial, présentant toujours la même moyenne de temps (statistiquement et qualitativement parlant) si autorisé à fonctionner pendant de longues périodes de temps, quelles que soient les conditions initiales.Des chercheurs européens soutenus par le financement du projet DSTOA («Descriptive set theory and operator algebras») se sont employés à résoudre les problèmes mathématiques portant sur la théorie descriptive des ensembles et les algèbres d'opérateurs en tenant compte de leur application et pertinence aux systèmes ergodiques. De nombreux résultats ont été obtenus jusqu'à présent, en particulier concernant les résultats de rigidité pour les algèbres de von Neumann et ce qu'on appelle l'équivalence von Neumann découlant des actions de groupes préservant une mesure de probabilité. La poursuite des travaux de recherche concernant les actions de groupes, le phénomène de rigidité et leurs algèbres von Neumann associés devrait améliorer les descriptions mathématiques de la théorie ergodique, avec d'éventuelles applications futures au niveau des processus industriels.