Mathematische Beschreibungen dynamischer Systeme
Grundlegendes Teilgebiet der Mathematik ist die Mengenlehre. Sie bildet das Fundament sämtlicher Anwendungen in Bezug auf das Verhalten von Systemen. Sie basiert auf dem Konzept der Zugehörigkeit, nach dem eine Menge von Objekten (in der Mathematik meist Zahlen, Punkte, Funktionen, usw.) ein Element einer anderen Menge ist, was in etwa vergleichbar mit der Tatsache ist, dass die erste Klasse einer Grundschule ein "Element" der Grundschulmenge ist. Ein Teilgebiet der Mengenlehre, die deskriptive Mengenlehre, befasst sich mit der Untersuchung der Struktur definierbarer Mengen reeller Zahlen (im Gegensatz zu ganzen Zahlen). Die Manipulation dieser Mengen, und zwar diese auf unterschiedliche Weise zu kombinieren, ist das Kernstück von Operatorenalgebren. Dieser Begriff bezieht sich auf algebraische Strukturen, bei denen ein linearer Operator zwei beliebige Vektoren verknüpft, um einen dritten Vektor zu bilden. Eine einfache Analogie wäre hier die Menge der ganzen Zahlen, wobei der auf zwei beliebige ganze Zahlen einwirkende "Multiplikationsoperator" eine dritte ganze Zahl ergibt. Letztlich wurden große Fortschritte an der Schnittstelle von Operatorenalgebren, deskriptiver Mengenlehre und Ergodentheorie erzielt. Ergodentheorie beschäftigt sich mit dem Verhalten dynamischer Systeme über sehr lange Zeiträume hinweg. Sie hat ihre Ursprünge unter anderem in den Theoremen des Mathematikers John von Neumann. Im Allgemeinen "vergisst" ein ergodisches System seinen Anfangszustand und zeigt immer das gleiche über die Zeit gemittelte Verhalten (im statistischen und qualitativen Sinne), wenn man es unabhängig von den Anfangsbedingungen für längere Zeit laufen lässt. Die im Rahmen des DSTOA-Projekts ("Descriptive set theory and operator algebras") mit Finanzmitteln augestatteten europäischen Forscher widmeten sich mathematischen Problemen, bei denen die deskriptive Mengenlehre und Operatoralgebra unter Berücksichtigung von deren Anwendung und Relevanz für ergodische Systeme kombiniert werden. Bisher konnten zahlreiche Resultate vorgewiesen werden; besonders in Bezug auf Rigiditätsergebnisse für von-Neumann-Algebren und die sogenannte von-Neumann-Äquivalenz, die sich aus sogenannten maßerhaltenden ergodischen a.e. freien Gruppenaktionen (measure-preserving ergodic a.e. free group actions) ergibt. Eine Fortsetzung der Forschung in Bezug auf Gruppenaktionen und Rigiditätsphänomene sowie der zugehörigen von-Neumann-Algebren sollte mathematischen Beschreibungen der Ergodizität mit möglichen zukünftigen Anwendungen in industriell relevanten Prozessen Aufschwung verleihen.