Matematyczne opisy układów dynamicznych
Teoria mnogości jest podstawą badań matematycznych oraz ich zastosowania w zakresie zachowania układów. Opiera się ona na koncepcji przynależności mówiącej iż jeden zbiór obiektów (w matematyce odnoszący się do liczb, punktów, funkcji itp.) jest elementem innego zbioru, tak jak pierwsza klasa szkoły podstawowej jest "elementem" zbioru szkoły podstawowej. Podzbiór teorii mnogości, opisowa teoria mnogości, jest dziedziną matematyki zajmującą się badaniem struktury definiowalnych zbiorów liczb rzeczywistych (w przeciwieństwie do liczb całkowitych). Manipulowanie tymi zbiorami, głównie poprzez łączenie ich na różne sposoby, jest istotą algebr operatorów. Termin ten odnosi się do struktur algebraicznych, w których operator liniowy łączy dwa dowolne wektory, tworząc trzeci wektor (prostą analogią jest zbiór liczb całkowitych, w którym operator mnożnikowy działający na dwie dowolne liczby całkowite daje trzecią liczbę całkowitą). Ostatnio poczyniono wielki postęp na styku algebr operatorów, opisowej teorii mnogości i teorii ergodycznej. Teoria ergodyczna dotyczy zachowania układów dynamicznych w długich odstępach czasu i ma swoje korzenie, między innymi, w twierdzeniach von Neumanna. Ogólnie rzecz biorąc, układ ergodyczny "zapomina" swój stan początkowy, zawsze wykazując takie samo uśrednione w czasie zachowanie (w ujęciu statystycznym i jakościowym), jeżeli może funkcjonować w długim okresie czasu, niezależnie od warunków początkowych. Europejscy naukowcy wspierani funduszami projektu "Opisowa teoria mnogości i algebra operatorów" (DSTOA) podjęli się rozwiązania problemów matematycznych, które łączą opisową teorię mnogości i algebrę operatorów z uwzględnieniem ich zastosowania i przydatności w układach ergodycznych. Dotychczas uzyskano liczne rezultaty, w szczególności dotyczące wyników w zakresie sztywności dla algebr von Neumanna i tzw. równoważności von Neumanna, wynikających z tzw. zachowujących miarę ergodycznych, autokorelacyjnych działań grupy swobodnej na zbiorze. Kontynuacja badań w zakresie działań grupowych oraz zjawiska sztywności, a także powiązanych algebr von Neumanna, powinna poprawić matematyczne opisy ergodyczności, dając potencjalne przyszłe zastosowania w procesach ważnych przemysłowo.