Descrizioni matematiche di sistemi dinamici
La teoria degli insiemi è fondamentale per lo studio della matematica e la sua applicazione al comportamento di sistemi. Si basa sul concetto di appartenenza, vale a dire sul fatto che un insieme di oggetti (in matematica riferiti a numeri, punti, funzioni, ecc.) faccia parte di un altro insieme in modo molto simile a come la prima classe della scuola elementare fa parte dell'insieme scuola elementare. Un sottoinsieme della teoria degli insiemi, vale a dire la teoria descrittiva degli insiemi, rappresenta un'area della matematica che si interessa dello studio della struttura di insiemi definibili di numeri reali (in opposizione ai numeri interi). La manipolazione di tali insiemi, che consiste essenzialmente nella loro combinazione in modi diversi, costituisce l'essenza delle algebre di operatori. Il termine si riferisce a strutture algebriche in cui un operatore lineare si combina ogni due vettori per formarne un terzo (la semplice analogia è l'insieme di interi in cui il cosiddetto operatore della moltiplicazione, agendo su ogni coppia di interi, produce un terzo intero). Recentemente, sono stati compiuti enormi progressi sull'interfaccia di algebre di operatori, teoria descrittiva degli insiemi e teoria ergodica. La teoria ergodica riguarda il comportamento di sistemi dinamici in intervalli temporali lunghissimi e trae le sue origini in teoremi di von Neumann e di altri. In generale, un sistema ergodico "dimentica" la sua condizione iniziale, esibendo sempre lo stesso comportamento medio contemporaneo (in termini statistici e qualitativi), se gli viene consentito di operare per lunghi periodi indipendentemente alle condizioni iniziali. I ricercatori europei, con il supporto del finanziamento del progetto DSTOA ("Descriptive set theory and operator algebras") si proponevano di risolvere problemi matematici che combinano la teoria descrittiva degli insieme e l'algebra di operatori con riflessioni sulla loro applicazione e sulla rilevanza per i sistemi ergodici. Finora sono stati ottenuti numerosi risultati, in particolare riguardo ai risultati di rigidità per le algebre di von Neumann e la cosiddetta equivalenza di von Neumann, derivante dalle cosiddette azioni ergodiche libere di gruppi quasi ovunque preservanti la misura. La prosecuzione delle ricerche riguardanti azioni di gruppo e fenomeni di rigidità e le relative algebre di von Neumann associate dovrebbero migliorare le descrizioni matematiche di ergodicità, con conclusive applicazioni future per i processi industrialmente pertinenti.