Projektbeschreibung
Die Lösung von Vermutungen über Invarianten in verschiedenen mathematischen Gebieten
In niedrigdimensionalen Topologien treten bestimmte Invarianten auf und die algebraische Geometrie lässt bei diesen sogenannte Verfeinerungen zu. Während klassische Invarianten Polynome mit einer Variablen (q) erzeugen und oft durch Schur-Polynome ausgedrückt werden können, erzeugen verfeinerte Invarianten Polynome mit zwei Variablen (q und t) und werden häufig durch Macdonald-Polynome ausgedrückt. Das EU-finanzierte Projekt REFINV plant die Entwicklung einer umfassenden Theorie, die mehrere seit Langem bestehende Vermutungen zu Invarianten in der algebraischen Geometrie, Kombinatorik und niedrigdimensionalen Topologie lösen soll. Zu diesem Zweck wird die Forschungsgruppe auf Methoden aufbauen, die in vorheriger Forschung entwickelt wurden und sich mit Lösungen von Vermutungen über das Mischen, Homologie-Berechnungen von Torusknoten und Poincaré-Polynomen von Charaktervarietäten sowie dem Beweis der kuriosen schweren Lefschetz-Vermutung befassen.
Ziel
Some invariants appearing in low-dimensional topology and algebraic geometry admit a so-called refinement: a much stronger, but more complicated invariant. For instance, in low-dimensional topology we study the Poincare polynomial of the triply-graded Khovanov-Rozansky homology of a knot, which is a refined version of the HOMFLY-PT polynomial. The usual Poincare polynomial and the E-polynomial of a character variety are refined by the full mixed Hodge polynomial. On the cohomology of a moduli space of Higgs bundles, we need an extra filtration, the so-called perverse filtration, to define the refinement. Where classical invariants produce polynomials in one variable q, and often have expressions involving Schur polynomials, refined invariants produce polynomials in two variables q and t, and often have expressions involving Macdonald polynomials. The connection conjectures and the P=W conjecture relate refined invariants appearing in the three contexts above.
We propose to develop a comprehensive theory connecting these notions, and as main applications, to solve the P=W conjecture for character varieties, the Gorsky-Negut-Rasmussen conjectures relating knot invariants and sheaves on the Hilbert scheme, Cherednik's conjectures computing homologies of algebraic links via DAHA, the Hausel-Letellier-Rodriguez-Villegas conjectures computing mixed Hodge polynomials of character varieties, nabla positivity, and the Stanley-Stembridge positivity conjectures.
To achieve our goal, we will build on methods developed in our previous work on the solution of the shuffle conjectures, the computations of homology of torus knots and Poincare polynomials of character varieties, and the proof of the curious hard Lefschetz conjecture. These methods include combinatorics of Dyck paths, symmetric functions and Macdonald theory, the A(q,t) algebra, cell decompositions of character varieties, natural actions on cohomology and K-theory, counting geometric objects over finite fields.
Wissenschaftliches Gebiet
Programm/Programme
Thema/Themen
Finanzierungsplan
ERC-COG - Consolidator GrantGastgebende Einrichtung
1010 Wien
Österreich