Descrizione del progetto
Equazioni differenziali parziali stocastiche semilineari: i comportamenti delle soluzioni globali
Le equazioni differenziali parziali sono fondamentali per descrivere i processi attraverso cui una variabile dipende da altre due o più, ovvero la maggior parte delle situazioni nella vita reale. Le equazioni differenziali parziali stocastiche (SDPE, stochastic partial differential equation) descrivono i sistemi fisici soggetti a effetti casuali. Nella descrizione dei limiti di scala dei sistemi di particelle interagenti e nell’analisi delle teorie sui campi quantistici, la casualità è dovuta alle fluttuazioni relazionate ai termini di rumore su tutte le scale di lunghezza. La presenza di un termine non lineare può comportare divergenze. Il progetto GE4SPDE, finanziato dal Consiglio europeo della ricerca, descriverà il comportamento globale delle soluzioni di alcuni degli esempi più importanti di SPDE semilineari, basandosi sul trattamento sistematico della procedura di rinormalizzazione impiegata per affrontare tali divergenze.
Obiettivo
"The project is concerned with the global behaviour of solutions to Stochastic Partial Differential Equations (SPDEs) from Mathematical Physics which arise e.g. in the description of scaling limits of interacting particle systems and in the analysis of Quantum Field Theories. The equations contain noise terms which describe random fluctuations and act on all length scales. In this situation the presence of a non-linear term can lead to divergencies. A subtle renormalisation procedure, which amounts to removing infinite terms, is needed. Over the last years the understanding of non-linear SPDEs has been revolutionised and a systematic treatment of the renormalisation procedure has been achieved. This led to a short-time well-posedness theory on compact domains for a large class of highly relevant semi-linear SPDEs. In this project, I will describe the global - both in time and over infinite domains - behaviour of solutions of some of the most prominent examples, by combining PDE techniques for the non-linear equations without noise and the improved understanding of the subtle small-scale stochastic cancellations. I have already pioneered such a programme in an important special case, the dynamic Phi-4 model. The project has three specific strands: A) Proving estimates for the stochastic quantisation equations of the Sine-Gordon and Liouville Quantum Gravity models and eventually Gauge theories, and to giving a PDE-based approach to the celebrated 1-2-3 scaling of the KPZ equation, B) giving PDE-based constructions of Phi-4 models in fractional dimension and describing phase transitions in terms of mixing properties of the dynamics, C) treating degenerate parabolic equations and exploring if systems that fail to satisfy a fundamental ""sub-criticality"" scaling assumption can still be treated using SPDE techniques."
Campo scientifico
- natural sciencesmathematicsapplied mathematicsmathematical physics
- natural sciencesphysical sciencesquantum physicsquantum field theory
- natural sciencesmathematicspure mathematicsmathematical analysisdifferential equationspartial differential equations
- natural sciencesphysical sciencestheoretical physics
Parole chiave
Programma(i)
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Argomento(i)
Meccanismo di finanziamento
HORIZON-ERC - HORIZON ERC GrantsIstituzione ospitante
48149 MUENSTER
Germania