Description du projet
Extension du champ d’application des arbres décorés dans la résolution des dynamiques de faible régularité
La plupart des phénomènes physiques et biologiques sont des systèmes dynamiques, c’est-à-dire des systèmes dont l’état évolue dans un espace d’état au cours du temps selon une règle fixe. Ils sont décrits à l’aide d’équations différentielles. Les systèmes plus réguliers sont moins chaotiques, ce qui rend les mathématiques de l’intégration et de la différenciation plus viables. La faible régularité est imputable à un bruit aléatoire (singulier) ou à des valeurs initiales aléatoires (singulières). Une grande classe d’équations différentielles partielles stochastiques singulières a récemment été résolue à l’aide d’arbres décorés et de leurs structures d’algèbres de Hopf, utilisées pour étendre les solutions de ces dynamiques. Le projet LoRDeT, financé par le Conseil européen de la recherche, entend élargir le champ d’application des arbres décorés à d’autres systèmes d’équations.
Objectif
Low regularity dynamics are used for describing various physical and biological phenomena near criticality. The low regularity comes from singular (random) noise or singular (random) initial value. The first example is Stochastic Partial Differential Equations (SPDEs) used for describing random growing interfaces (KPZ equation) and the dynamic of the euclidean quantum field theory (stochastic quantization). The second concerns dispersive PDEs with random initial data which can be used for understanding wave turbulence. A recent breakthrough is the resolution of a large class of singular SPDEs through the theory of Regularity Structures invented by Martin Hairer. Such resolution has been possible thanks to the help of decorated trees and their Hopf algebras structures for organising different renormalisation procedures. Decorated trees are used for expanding solutions of these dynamics. The aim of this project is to enlarge the scope of resolution given by decorated trees and their Hopf algebraic structures. One of the main ideas is to develop algebraic tools by the mean of algebraic deformations. We want to see the Hopf algebras used for SPDEs as deformation of those used in various fields such as numerical analysis and perturbative quantum field theory. This is crucial to work in interaction with these various fields in order to get the best result for singular SPDEs and dispersive PDEs. We will focus on the following long-term objectives:
- Give a notion of existence and uniqueness of quasilinear and dispersive SPDEs.
- Derive a general framework for discrete singular SPDEs.
- Develop algebraic structures for singular SPDEs in connection with numerical analysis, perturbative quantum field theory and rough paths.
- Use decorated trees for dispersive PDEs with random initial data and derive systematically wave kinetic equations in Wave Turbulence.
- Develop a software platform for decorated trees and their Hopf algebraic structures.
Champ scientifique
- natural sciencesmathematicsapplied mathematicsdynamical systems
- natural sciencesphysical sciencesquantum physicsquantum field theory
- natural sciencesmathematicspure mathematicsmathematical analysisdifferential equationspartial differential equations
- natural sciencesmathematicsapplied mathematicsnumerical analysis
- natural sciencesmathematicspure mathematicsalgebraalgebraic geometry
Mots‑clés
Programme(s)
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Thème(s)
Régime de financement
HORIZON-ERC - HORIZON ERC GrantsInstitution d’accueil
54052 Nancy Cedex
France