Descrizione del progetto
Ampliare la portata degli alberi addobbati nella risoluzione di dinamiche a bassa regolarità
La maggior parte dei fenomeni fisici e biologici sono sistemi dinamici, ovvero sistemi il cui stato si evolve su uno spazio di stati nel tempo secondo una regola fissa. Questi sono descritti mediante equazioni differenziali. I sistemi con maggiore regolarità sono meno caotici, il che rende più sostenibile la matematica dell’integrazione e della differenziazione. La bassa regolarità deriva da un rumore casuale (singolare) o da valori iniziali casuali (singolari). Recentemente, un’ampia classe di equazioni differenziali parziali stocastiche singolari è stata risolta con l’aiuto di alberi addobbati e delle loro strutture di algebre di Hopf, utilizzate per espandere le soluzioni di queste dinamiche. Il progetto LoRDeT, finanziato dal Consiglio europeo della ricerca, prevede di ampliare il campo di applicazione degli alberi addobbati ad altri sistemi di equazioni.
Obiettivo
Low regularity dynamics are used for describing various physical and biological phenomena near criticality. The low regularity comes from singular (random) noise or singular (random) initial value. The first example is Stochastic Partial Differential Equations (SPDEs) used for describing random growing interfaces (KPZ equation) and the dynamic of the euclidean quantum field theory (stochastic quantization). The second concerns dispersive PDEs with random initial data which can be used for understanding wave turbulence. A recent breakthrough is the resolution of a large class of singular SPDEs through the theory of Regularity Structures invented by Martin Hairer. Such resolution has been possible thanks to the help of decorated trees and their Hopf algebras structures for organising different renormalisation procedures. Decorated trees are used for expanding solutions of these dynamics. The aim of this project is to enlarge the scope of resolution given by decorated trees and their Hopf algebraic structures. One of the main ideas is to develop algebraic tools by the mean of algebraic deformations. We want to see the Hopf algebras used for SPDEs as deformation of those used in various fields such as numerical analysis and perturbative quantum field theory. This is crucial to work in interaction with these various fields in order to get the best result for singular SPDEs and dispersive PDEs. We will focus on the following long-term objectives:
- Give a notion of existence and uniqueness of quasilinear and dispersive SPDEs.
- Derive a general framework for discrete singular SPDEs.
- Develop algebraic structures for singular SPDEs in connection with numerical analysis, perturbative quantum field theory and rough paths.
- Use decorated trees for dispersive PDEs with random initial data and derive systematically wave kinetic equations in Wave Turbulence.
- Develop a software platform for decorated trees and their Hopf algebraic structures.
Campo scientifico
- natural sciencesmathematicsapplied mathematicsdynamical systems
- natural sciencesphysical sciencesquantum physicsquantum field theory
- natural sciencesmathematicspure mathematicsmathematical analysisdifferential equationspartial differential equations
- natural sciencesmathematicsapplied mathematicsnumerical analysis
- natural sciencesmathematicspure mathematicsalgebraalgebraic geometry
Parole chiave
Programma(i)
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Argomento(i)
Meccanismo di finanziamento
HORIZON-ERC - HORIZON ERC GrantsIstituzione ospitante
54052 Nancy Cedex
Francia