Projektbeschreibung
Den Anwendungsbereich von dekorierten Bäumen bei der Lösung von Dynamiken mit geringer Regularität erweitern
Bei den meisten physikalischen und biologischen Phänomenen handelt es sich um dynamische Systeme, also Systeme, deren Zustand sich in einem Zustandsraum mit der Zeit nach einer festen Regel entwickelt. Diese werden mittels Differentialgleichungen beschrieben. Systeme mit größerer Regularität sind weniger chaotisch, sodass die Integral- und Differentialmathematik haltbarer sind. Geringe Regelmäßigkeit entsteht durch (singuläres) Zufallsrauschen oder zufällige (singuläre) Ausgangswerte. Kürzlich wurde eine große Klasse von stochastischen partiellen Differentialgleichungen mit singulärem Rauschen mithilfe von dekorierten Bäumen und ihren Hopf-Algebra-Strukturen gelöst. Dadurch werden die Lösungen dieser Dynamiken erweitert. Das Team des vom Europäischen Forschungsrat finanzierte Projekt LoRDeT plant, die Anwendung dekorierter Bäume auf andere Gleichungssysteme auszuweiten.
Ziel
Low regularity dynamics are used for describing various physical and biological phenomena near criticality. The low regularity comes from singular (random) noise or singular (random) initial value. The first example is Stochastic Partial Differential Equations (SPDEs) used for describing random growing interfaces (KPZ equation) and the dynamic of the euclidean quantum field theory (stochastic quantization). The second concerns dispersive PDEs with random initial data which can be used for understanding wave turbulence. A recent breakthrough is the resolution of a large class of singular SPDEs through the theory of Regularity Structures invented by Martin Hairer. Such resolution has been possible thanks to the help of decorated trees and their Hopf algebras structures for organising different renormalisation procedures. Decorated trees are used for expanding solutions of these dynamics. The aim of this project is to enlarge the scope of resolution given by decorated trees and their Hopf algebraic structures. One of the main ideas is to develop algebraic tools by the mean of algebraic deformations. We want to see the Hopf algebras used for SPDEs as deformation of those used in various fields such as numerical analysis and perturbative quantum field theory. This is crucial to work in interaction with these various fields in order to get the best result for singular SPDEs and dispersive PDEs. We will focus on the following long-term objectives:
- Give a notion of existence and uniqueness of quasilinear and dispersive SPDEs.
- Derive a general framework for discrete singular SPDEs.
- Develop algebraic structures for singular SPDEs in connection with numerical analysis, perturbative quantum field theory and rough paths.
- Use decorated trees for dispersive PDEs with random initial data and derive systematically wave kinetic equations in Wave Turbulence.
- Develop a software platform for decorated trees and their Hopf algebraic structures.
Wissenschaftliches Gebiet
- natural sciencesmathematicsapplied mathematicsdynamical systems
- natural sciencesphysical sciencesquantum physicsquantum field theory
- natural sciencesmathematicspure mathematicsmathematical analysisdifferential equationspartial differential equations
- natural sciencesmathematicsapplied mathematicsnumerical analysis
- natural sciencesmathematicspure mathematicsalgebraalgebraic geometry
Schlüsselbegriffe
Programm/Programme
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Thema/Themen
Finanzierungsplan
HORIZON-ERC - HORIZON ERC GrantsGastgebende Einrichtung
54052 Nancy Cedex
Frankreich