Description du projet
Zoom sur la théorie des marches aléatoires
En mathématiques, une marche aléatoire est un processus décrivant un parcours jalonné d’une série de pas aléatoires. Le projet BoundaryTheory, financé par l’UE, permettra de mieux comprendre les propriétés des groupes en s’appuyant sur la théorie des marches aléatoires. Il mettra également en lumière les liens entre cette théorie et le phénomène de rigidité. Les principaux domaines mathématiques de ce plan de recherche portent sur les actions de groupe mesurables et topologiques (théorie ergodique et dynamique topologique) et leurs interactions avec les C*-algèbres et les algèbres de von Neumann. Le projet permettra par ailleurs de développer la théorie du groupe d’automorphisme des chaînes de Markov. Il concevra de nouvelles techniques pour étudier le bord de Furstenberg-Poisson et ses liens avec les algèbres d’opérateurs.
Objectif
The general goal of the proposed research is to gain a deeper understanding of group properties which are reflected by the theory of random walks. Another goal is to reveal further connections between this theory with the rigidity phenomenon. The main mathematical fields appearing in this research plan are measurable and topological group actions (Ergodic Theory and Topological Dynamics), and group actions on C*-algebras.
One of the main objectives is developing a theory towards solving a specific case of Connes’ Rigidity Conjecture, formulated for C*-algebras. Namely, differentiating reduced C*-algebras of irreducible lattices of different ranks. The suggested approach is inspired by a well-known rigidity result of Furstenberg. This involves studying the relationship between measurable and topological boundaries, as well as their C*- and von Neumann algebraic counterparts. Related to this relationship, it is also conjectured that the existence of uniquely ergodic models for probability measure preserving actions in a much wider setup than is currently known.
Another goal is to develop a theory of automorphism groups of Markov chains. Two potential applications are discussed: the first is developing new techniques for realizing the Furstenberg-Poisson boundary, and the second, is to relate the boundaries of groups, which are measure equivalent.
An additional line of research suggests new systematic studies of operator algebras related to groups. This direction is inspired by the fruitful theme in Geometric Group Theory, studying the space of all subgroups, of a given group. The dynamics on the space of subalgebras is suggested to provide a new set of invariants attributed to groups, unitary representations, and group actions. A subalgebra rigidity phenomenon is conjectured to hold for higher rank groups, and a strategy based on Boundary Theory is being presented. This direction opens many new horizons to the study of groups’ operator algebras.
Champ scientifique (EuroSciVoc)
CORDIS classe les projets avec EuroSciVoc, une taxonomie multilingue des domaines scientifiques, grâce à un processus semi-automatique basé sur des techniques TLN. Voir: https://op.europa.eu/en/web/eu-vocabularies/euroscivoc.
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Programme(s)
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Thème(s)
Appel à propositions
(s’ouvre dans une nouvelle fenêtre) ERC-2022-STG
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