Description du projet
Conditions de stabilité et croisement de mur en géométrie algébrique
Le projet WallCrossAG, financé par l’UE, prévoit d’établir des conditions de stabilité et de wall crossing (croisement de mur) dans des catégories dérivées comme méthodologie standard pour un large éventail de problèmes fondamentaux en géométrie algébrique. Des travaux antérieurs sur le croisement de murs ont conduit à des percées dans la géométrie birationnelle des espaces de modules et des variétés associées. Des avancées récentes ont révélé que la puissance des conditions de stabilité s’étend bien au-delà de ce cadre, permettant l’étude de théorèmes ou de bornes en voie de disparition sur des sections globales, des problèmes de Brill-Noether ou des espaces de modules de variétés. Le projet WallCrossAG fera progresser la méthode de wall crossing pour prouver la conjecture de Green et la conjecture de Green-Lazarsfeld pour toutes les courbes lisses. Il construira également des conditions de stabilité sur les espaces de modules des poulies sur les variétés de grande dimension et les variétés abéliennes spéciales.
Objectif
We will establish stability conditions and wall-crossing in derived categories as a standard methodology for a wide range of fundamental problems in algebraic geometry. Previous work based on wall-crossing, in particular my joint work with Macri, has led to breakthroughs on the birational geometry of moduli spaces and related varieties. Recent advances have made clear that the power of stability conditions extends far beyond this setting, allowing us to study vanishing theorems or bounds on global sections, Brill-Noether problems, or moduli spaces of varieties.
The Brill-Noether problem is one of the oldest and most fundamental questions of algebraic geometry, aiming to classify possible degrees and embedding dimensions of embeddings of a given variety into projective spaces. Recent work by myself, a post-doc (Chunyi Li) and a PhD student (Feyzbakhsh) of mine has established wall-crossing as a powerful new method for such questions. We will push this method further, all the way towards a proof of Green's conjecture, and the Green-Lazarsfeld conjecture, for all smooth curves.
We will use similar methods to prove new Bogomolov-Gieseker type inequalities for Chern classes of stable sheaves and complexes on higher-dimensional varieties. In addition to constructing stability conditions on projective threefolds---the biggest open problem within the theory of stability conditions, we will apply them to study moduli spaces of sheaves on higher-dimensional varieties, and to characterise special abelian varieties.
We will use the construction of stability conditions for families of varieties in my current joint work to systematically study the geometry of Fano threefolds and fourfolds, in particular their moduli spaces, by establishing relations between different moduli spaces, and describing their Torelli maps. Finally, we will study rationality questions, with a particular view towards a wall-crossing proof of the irrationality of the very general cubic fourfold.
Champ scientifique (EuroSciVoc)
CORDIS classe les projets avec EuroSciVoc, une taxonomie multilingue des domaines scientifiques, grâce à un processus semi-automatique basé sur des techniques TLN.
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Mots‑clés
Programme(s)
Régime de financement
ERC-COG - Consolidator GrantInstitution d’accueil
EH8 9YL Edinburgh
Royaume-Uni