Descripción del proyecto
Modelos matemáticos para explicar fenómenos naturales: tomografía, turbulencias y parcheados aleatorios
La invariancia de escala adopta diversas formas en muchos fenómenos naturales. Un ejemplo muy conocido de una marcada invariancia de escala es la naturaleza fractal de la costa. Desde un punto de vista matemático, explicar y utilizar la invariancia de escala conduce al método de transformación conforme (que conserva la forma) o cuasiconforme (que solo la conserva vagamente). El análisis de Fourier, según el cual se descompone una señal en las frecuencias que la constituyen, ofrece un enfoque relacionado para analizar fenómenos naturales complicados. QUAMAP aplica aspectos del análisis matemático moderno, desde la transformación cuasiconforme al análisis de Fourier, a diversos problemas de la física matemática. Mediante estas herramientas, junto con análogos no lineales, el proyecto espera arrojar luz sobre diversos problemas complejos, tales como la geometría de los minimizadores de energía, los límites de escala en la geometría aleatoria, una técnica de imaginología basada en mediciones eléctricas de la superficie, así como el comportamiento de los líquidos en sistemas turbulentos.
Objetivo
The use of delicate quasiconformal methods, in conjunction with convex integration and/or nonlinear Fourier analysis, will be the common theme of the proposal. A number of important outstanding problems are susceptible to attack via these methods. First and foremost, Morrey's fundamental question in two dimensional vectorial calculus of variations will be considered as well as the related conjecture of Iwaniec regarding the sharp $L^p$ bounds for the Beurling transform. Understanding the geometry of conformally invariant random structures will be one of the central goals of the proposal. Uhlmann's conjecture regarding the optimal regularity for uniqueness in Calder'on's inverse conductivity problem will also be considered, as well as the applications to imaging. Further goals are to be found in fluid mechanics and scattering, as well as the fundamental properties of quasiconformal mappings, interesting in their own right, such as the outstanding deformation problem for chord-arc curves.
Palabras clave
Programa(s)
Régimen de financiación
ERC-ADG - Advanced GrantInstitución de acogida
00014 HELSINGIN YLIOPISTO
Finlandia