Projektbeschreibung
Mathematische Modelle erklären natürliche Phänomene: Tomografie, Turbulenz und Random Tilings
Skalierungsinvarianzen gibt es bei vielen natürlichen Phänomenen in verschiedenen Formen. Ein bekanntes Beispiel für eine grobe Invarianz ist der fraktale Charakter einer Küstenlinie. Aus mathematischer Sicht führt die Erklärung und Anwendung der Skaleninvarianz zur Methode der konformen (die Form bewahrenden) und quasikonformen Abbildungen (die Formen nur grob bewahren). Die Fourieranalyse, bei der ein Signal in seine Frequenzanteile zerlegt wird, bietet einen ähnlichen Ansatz zur Analyse komplizierter natürlicher Phänomene. QUAMAP widmet sich der Anwendung von Aspekten der modernen mathematischen Analyse, von quasikonformen Abbildungen über die Fourieranalyse bis hin zu verschiedenen Problemen, die in der mathematischen Physik auftreten. Mithilfe dieser Instrumente sowie nichtlinearen Analoga plant das Projekt, Licht in verschiedene anspruchsvolle Probleme zu bringen. Dazu zählen die Geometrie von Energieminimierern, Skalierungsgrenzen bei zufälliger Geometrie, ein auf elektrischen Oberflächenmessungen basierendes Bildgebungsverfahren sowie das Verhalten von Fluiden in turbulenten Systemen.
Ziel
The use of delicate quasiconformal methods, in conjunction with convex integration and/or nonlinear Fourier analysis, will be the common theme of the proposal. A number of important outstanding problems are susceptible to attack via these methods. First and foremost, Morrey's fundamental question in two dimensional vectorial calculus of variations will be considered as well as the related conjecture of Iwaniec regarding the sharp $L^p$ bounds for the Beurling transform. Understanding the geometry of conformally invariant random structures will be one of the central goals of the proposal. Uhlmann's conjecture regarding the optimal regularity for uniqueness in Calder'on's inverse conductivity problem will also be considered, as well as the applications to imaging. Further goals are to be found in fluid mechanics and scattering, as well as the fundamental properties of quasiconformal mappings, interesting in their own right, such as the outstanding deformation problem for chord-arc curves.
Schlüsselbegriffe
Programm/Programme
Thema/Themen
Finanzierungsplan
ERC-ADG - Advanced GrantGastgebende Einrichtung
00014 HELSINGIN YLIOPISTO
Finnland