Description du projet
De nouveaux outils pour les problèmes inverses d’analyse de forme spectrale
En 1911, Hermann Weyl a montré que le volume d’un domaine délimité dans l’espace euclidien est déterminé par le comportement asymptotique des valeurs propres de l’opérateur Dirichlet Laplacien. Ces travaux sont à l’origine du titre d’un célèbre article de M. Kac: «Pouvez-vous entendre la forme d’un tambour?» La question est de savoir si la forme d’un domaine délimité peut être déterminée par le spectre de l’opérateur Dirichlet Laplacien. L’existence de domaines isospectraux (domaines avec le même nombre de valeurs propres) qui ne préservent pas la forme des plans lors des transformations (non isométriques) reste une question ouverte. L’objectif du projet SPERIG, financé par l’UE, est de développer des outils pour résoudre les problèmes inverses locaux pour les domaines convexes planaires lisses et les flux géodésiques.
Objectif
In 1911, Hermann Weyl proved the remarkable asymptotic formula describing distribution of (large) eigenvalues of the Dirichlet Laplacian in a bounded domain Ω ⊂ Rd
N (λ) = (2π)−d ωd Vol(Ω) λd/2(1 + o(1)) as λ → +∞. where N (λ) is the number of eigenvalues of the Laplacian spectrum, which are less than λ, ωd is a volume of the unit ball in Rd, Vol(Ω) is the volume of Ω, and the Laplace spectrum of a domain Ω is defined as the set of positive real numbers λ (with multiplicities) that satisfy the eigenvalue problem in Ω with Dirichlet boundary conditions. This result motivated the title of a famous paper by M. Kac “Can you hear the shape of a drum?”. The question is: can the shape of a bounded domain O C Rd be determined by the Laplace spectrum? Two domains are called isospectral if they have the same eigenvalues. Consider the space of domains with a smooth boundary. The existence of isospectral non-isometric domains is a well-known open question.
The first goal of the project is to prove the local spectral rigidity for convex planar domains, i.e. for a smooth convex planar domain Ω the Laplace spectrum determines Ω locally. There are no nearby isospectral non-isometric domains with smooth boundary. All of the these questions can also be posed for Riemannian manifolds. The second goal is to prove the local rigidity for Riemannian manifolds with Anosov geodesic flows.
The third goal is to prove local rigidity for integrable systems: geodesic flows on tori (resp. convex planar billiards). The goal is to prove that an integrable metric close to a Liouville metric is Liouville. The second type is billiards inside smooth planar domains integrable near the boundary. We shall prove that domains with integrable billiards belong to a finite-dimensional manifold.
The focal goal of the project is to develop analytic tools to solve the local inverse problems for smooth planar convex domains and geodesic flows.
Mots‑clés
Programme(s)
Thème(s)
Appel à propositions
(s’ouvre dans une nouvelle fenêtre) ERC-2019-ADG
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ERC-ADG - Advanced GrantInstitution d’accueil
3400 Klosterneuburg
Autriche