Projektbeschreibung
Eine Untersuchung gleichmäßiger Schranken für rationale Punkte algebraischer Varietäten
Das EU-finanzierte Projekt UnIntUniBd zielt auf die Untersuchung gleichmäßiger Schranken für rationale und algebraische Punkte ab. Dazu gehört die Mazur-Vermutung über die Anzahl von Punkten auf Kurven, die die folgenden zwei starken Schranken postuliert: Die Anzahl rationaler Punkte auf einer glatten projektiven Kurve mit Geschlecht g von mindestens 2, definiert über einem Zahlkörper mit Grad d, ist nach oben durch g, d und den Mordell-Weil-Rang beschränkt; und die Anzahl algebraischer Torsionspunkte auf einer glatten projektiven Kurve mit Geschlecht g von mindestens 2 ist nach oben nur durch g beschränkt. Das Projekt hat auch das Ziel, die erste Schranke auf höherdimensionale Subvarietäten abelscher Varietäten zu verallgemeinern und letztendlich die Schranken auf semiabelsche Varietäten auszuweiten. Auch Fragen der Transzendenz von Funktionen und unwahrscheinlicher Schnittpunkte werden im Rahmen des Projekts als wichtige Herangehensweisen untersucht werden.
Ziel
I propose to investigate the following long expected but widely open uniform bounds on rational and algebraic points. (1) Mazur’s conjecture on the number of points on curves, which implies the following two strong bounds: (1.i) the number of rational points on a smooth projective curve of genus g at least 2 defined over a number field of degree d is bounded above in terms of g, d and the Mordell- Weil rank; (1.ii) the number of algebraic torsion points on a smooth projective curve of genus g at least 2 is bounded above only in terms of g. (2) Generalize the bound in (1) to higher dimensional subvarieties of abelian varieties. (3) Extend the bounds to semi-abelian varieties. Compared with existing results, the Faltings height is no longer involved in the bounds. The proofs I propose are via Diophantine estimates. Functional transcendence and unlikely intersections on mixed Shimura varieties play important roles in the proofs. Hence as pre-requests and extensions of the three goals listed above, I will also continue investigating on functional transcendence and unlikely intersection theories as well as their potential other interesting applications in Diophantine geometry.
Wissenschaftliches Gebiet
Schlüsselbegriffe
Programm/Programme
Thema/Themen
Finanzierungsplan
ERC-STG - Starting GrantGastgebende Einrichtung
30167 Hannover
Deutschland