Descrizione del progetto
Studio sui limiti uniformi sui punti razionali delle varietà algebriche
Il progetto UnIntUniBd, finanziato dall’UE, si propone di studiare i limiti uniformi sui punti razionali e algebrici. Ciò comprende la congettura di Mazur relativa al numero di punti su una curva, che implica due forti limiti: il numero di punti razionali su una curva proiettiva liscia di genere g di almeno 2 definito su un certo numero di campi di grado d è limitato superiormente in termini di g, d e di rango di Mordell-Weil; mentre il numero di punti di torsione algebrica su una curva proiettiva liscia di genere g di almeno 2 è limitato superiormente solo in termini di g. Il progetto si propone inoltre di generalizzare il primo limite a sottovarietà multidimensionali di varietà abeliane e, infine, estendere i limiti alle varietà semi-abeliane. Come tecniche chiave per il progetto, si studieranno anche la trascendenza funzionale e problemi legati alle intersezioni improbabili.
Obiettivo
I propose to investigate the following long expected but widely open uniform bounds on rational and algebraic points. (1) Mazur’s conjecture on the number of points on curves, which implies the following two strong bounds: (1.i) the number of rational points on a smooth projective curve of genus g at least 2 defined over a number field of degree d is bounded above in terms of g, d and the Mordell- Weil rank; (1.ii) the number of algebraic torsion points on a smooth projective curve of genus g at least 2 is bounded above only in terms of g. (2) Generalize the bound in (1) to higher dimensional subvarieties of abelian varieties. (3) Extend the bounds to semi-abelian varieties. Compared with existing results, the Faltings height is no longer involved in the bounds. The proofs I propose are via Diophantine estimates. Functional transcendence and unlikely intersections on mixed Shimura varieties play important roles in the proofs. Hence as pre-requests and extensions of the three goals listed above, I will also continue investigating on functional transcendence and unlikely intersection theories as well as their potential other interesting applications in Diophantine geometry.
Campo scientifico
Parole chiave
Programma(i)
Argomento(i)
Meccanismo di finanziamento
ERC-STG - Starting GrantIstituzione ospitante
30167 Hannover
Germania