Description du projet
Une approche non archimédienne de la symétrie miroir
La symétrie miroir constitue l’une des dualités les plus mystérieuses des mathématiques. En gros, elle prédit que pour toute variété de Calabi-Yau, il existe une variété de Calabi-Yau miroir de sorte qu’une longue liste de relations géométriques existe entre les deux. Malgré les progrès constants réalisés dans ce domaine, une question fondamentale reste floue: dans quelle mesure les miroirs existent-ils et comment construire cette variété miroir? Le projet NAMirror, financé par l’UE, propose une nouvelle approche pour répondre à cette question, basée sur les derniers développements de la géométrie non archimédienne, en particulier la théorie des espaces de Berkovich, ainsi que la géométrie non archimédienne dérivée. L’objectif consiste à concevoir et à poursuivre une théorie à part entière de la symétrie miroir non archimédienne, qui conduira à de nouveaux résultats inaccessibles à partir des méthodes existantes.
Objectif
Mirror symmetry is one of the most mysterious dualities in mathematics. Roughly, it predicts that given any Calabi-Yau variety, there exists a mirror Calabi-Yau variety such that a rich list of geometric relations hold between the two, involving Hodge numbers, Gromov-Witten invariants, variation of Hodge structures, Floer homology (Fukaya category), coherent sheaves, stability conditions and so on. Despite continual progress in the subject, a fundamental question remains unclear: to what extent do mirrors exist, and how to construct the mirror variety?
Here we propose a new approach to answer this question, based on latest developments from non-archimedean geometry, in particular the theory of Berkovich spaces, as well as derived non-archimedean geometry. Our goal is to conceive and pursue a full-fledged theory of non-archimedean mirror symmetry, which will lead to new results unattainable from existing methods.
We propose to work out a general mirror construction, starting directly from a non-archimedean Strominger-Yau-Zaslow torus fibration, conjectured by Kontsevich-Soibelman, by counting non-archimedean analytic disks with boundaries on SYZ torus fibers. First we need to establish the existence of such counts in full generality, based on non-archimedean Gromov-Witten theory and tail conditions. Then we have to prove various properties of the mirror algebra, including associativity, radius of convergence and singularity estimates. Finally we propose to use wall-crossing formulas to glue local mirror algebras together to obtain the global mirror variety. A long-term goal is to show that the mirror construction is an involution, the best exhibition of mirror duality.
We also aim for applications outside mirror symmetry, in particular towards the moduli of KSBA stable pairs in birational geometry. Our project is intimately related to the ongoing Gross-Siebert program based on logarithmic geometry. We also expect fruitful future interactions with their program.
Champ scientifique (EuroSciVoc)
CORDIS classe les projets avec EuroSciVoc, une taxonomie multilingue des domaines scientifiques, grâce à un processus semi-automatique basé sur des techniques TLN. Voir: https://op.europa.eu/en/web/eu-vocabularies/euroscivoc.
CORDIS classe les projets avec EuroSciVoc, une taxonomie multilingue des domaines scientifiques, grâce à un processus semi-automatique basé sur des techniques TLN. Voir: https://op.europa.eu/en/web/eu-vocabularies/euroscivoc.
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France