Projektbeschreibung
Cluster-Algebren in Darstellungstheorie und Feldtheorie
In den letzten 30 Jahren haben die engen Verbindungen zwischen der Chern-Simons-Theorie, der supersymmetrischen Eichtheorie und der Darstellungstheorie von Quantengruppen die Forschungsaktivitäten in Mathematik und Physik vorangetrieben. Das EU-finanzierte Projekt NCST wird verschiedene Quantencluster verwenden, um eine positive Darstellungstheorie von Quantengruppen und ein nicht-kompaktes Analogon der Chern-Simons-Theorie zu entwickeln. Es wird auch neue Invarianten von Gliedern und 3-Mannigfaltigkeiten erhalten und neue Verbindungen zwischen supersymmetrischen Eichtheorien und Varietäten des Quantencharakters herstellen. Das Projekt baut auf früheren Arbeiten von Projektmitgliedern auf, die grundlegende Fälle der Modulfunktor-Vermutung von Fock-Goncharov in der höheren Teichmüller-Theorie sowie Gaiottos Vermutung über die Existenz von Clusterstrukturen auf bestimmten supersymmetrischen Eichtheorien nachgewiesen haben.
Ziel
Over the past 30 years, deep connections between Chern–Simons theory, supersymmetric (SUSY) gauge theory, and representation theory of quantum groups, have caused an avalanche of research in mathematics and physics. In this proposal I use quantum cluster varieties to develop positive representation theory of quantum groups and a non-compact analogue of Chern–Simons theory. I also obtain new invariants of links and 3-manifolds, and establish new connections between SUSY gauge theories and quantum character varieties. This proposal builds on my prior work, where I prove fundamental cases of the Fock–Goncharov modular functor conjecture in higher Teichmüller theory, and Gaiotto’s conjecture on the existence of cluster structure on K-theoretic Coulomb branches of 3d N = 4 SUSY gauge theories. The proposal is split into the following four projects:
1. Prove the modular functor conjecture and extend it to a non-compact analogue of Chern–Simons theory. Obtain new powerful invariants of links and 3-manifolds.
2. Develop positive representation theory: construct continuous braided monoidal category from positive representations, prove non-compact Peter–Weyl theorem, obtain explicit formulas for finite-dimensional 6j-symbols, prove that the category of positive representations of quantum groups in type A is equivalent to a fusion category in Toda conformal field theory.
3. Describe cluster structure on K-theoretic Coulomb branches of 3d N = 4 SUSY gauge theories, conjectured by Gaiotto. Obtain cluster structure on spherical double affine Hecke algebra, and Slodowy intersections. Provide an algorithm, identifying certain theories of class S with quiver gauge theories.
4. Relate cluster quantization of character varieties with the topological quantum field theory constructed by Ben-Zvi, Brochier, and Jordan. Use it to obtain a canonical quantization of the A-polynomial.
Wissenschaftliches Gebiet (EuroSciVoc)
CORDIS klassifiziert Projekte mit EuroSciVoc, einer mehrsprachigen Taxonomie der Wissenschaftsbereiche, durch einen halbautomatischen Prozess, der auf Verfahren der Verarbeitung natürlicher Sprache beruht. Siehe: https://op.europa.eu/en/web/eu-vocabularies/euroscivoc.
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Schlüsselbegriffe
Programm/Programme
Thema/Themen
Aufforderung zur Vorschlagseinreichung
(öffnet in neuem Fenster) ERC-2020-STG
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ERC-STG - Starting GrantGastgebende Einrichtung
EH8 9YL Edinburgh
Vereinigtes Königreich