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Nuova visione dei sistemi dinamici non autonomi

I sistemi dinamici complessi che vanno dai cambiamenti climatici ai mercati finanziari possono soffrire di punti critici noti come biforcazioni catastrofiche, dove un improvviso cambiamento di una condizione può causare la perdita di equilibrio da parte del sistema. Studi dettagliati sui punti nelle immediate vicinanze di una biforcazione possono aiutare a controllare le proprietà di biforcazione e a raggiungere in qualche modo il comportamento dinamico desiderato del sistema.

Ricerca di base

Creando modelli di una gamma incredibile di comportamenti, come per esempio il movimento dei pianeti del sistema solare o la diffusione di malattie in una popolazione, i sistemi dinamici sono comunemente usati per l’analisi dei sistemi, in una vasta gamma di settori scientifici. Ad oggi, numerose biforcazioni locali (tra cui biforcazione a nodo, pitchfork, period-doubling e di Hopf) sono state studiate in fisica, biologia, ingegneria, ecologia ed economia. Nonostante i progressi nel campo, è ancora necessaria un’ulteriore comprensione delle biforcazioni nei sistemi dinamici non autonomi. Il progetto LDNAD (Low-dimensional and non-autonomous dynamics), finanziato dall’UE, è stato istituito per fornire nuove conoscenze e strumenti allo scopo di integrare lo studio relativo alla teoria della biforcazione non autonoma, in particolare delle controparti non autonome relative al modello di biforcazione classico dei sistemi dinamici. La ricerca sulle biforcazioni non autonome di Hopf è stata focalizzata su un problema di lunga data relativo al solito modello di biforcazione di Hopf, il quale lascia posto allo scenario a due fasi riguardante la biforcazione non-autonoma di Hopf, proposto da Ludwig Arnold. I ricercatori hanno descritto questo scenario mediante modelli forzati a livello deterministico, i quali possono essere trattati come sistemi continui caratterizzati da prodotto semidiretto su uno spazio con prodotto compatto, oppure come sistemi forzati in modo casuale che portano a prodotti semidiretti su una trasformazione che conserva la misura. In questo scenario, le forzature esterne possono portare ad autovalori complessi coniugati, dando luogo allo scenario di biforcazione a due fasi, in cui un “toro” invariante scinde una varietà centrale precedentemente stabile. I ricercatori hanno dimostrato che questo toro consiste in un cerchio topologico presente in ogni fibra. Il team del progetto ha inoltre osservato un significativo progresso nelle questioni relative alla teoria ergodica. Considerando che l’ordine lessicografico genera un ordine parziale (detto dominanza stocastica del primo ordine) sulle relative misure di probabilità prive di cambiamento, i ricercatori hanno studiato la struttura fine di questo ordine di dominanza e dimostrato che le misure invarianti sturmiane sono totalmente ordinate rispetto a esso. Il progetto LDNAD ha lavorato per aumentare la comprensione delle biforcazioni nei sistemi dinamici non autonomi, cioè l’effetto di cambiamenti della struttura dei sistemi dinamici, quando i parametri sono molteplici.

Parole chiave

Sistemi dinamici, dinamiche non autonome, LDNAD, teoria delle biforcazioni, teoria ergodica

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