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Benjamini-Schramm approximation of Groups and Graphings

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Instrumente aus dem Bereich von Mathematik und Computerwissenschaften für das Management großer Netzwerke

Seien es die Neuro-, Netzwerk- und Sozialwissenschaften oder die Molekularbiologie, in den vergangenen Jahrzehnten konnten große Netzwerke oder Graphen in einer Vielzahl von Bereichen ein omnipräsentes Auftreten verzeichnen. Eine EU-Initiative nahm sich der Herausforderung an, Informationen über solche Netzwerke zu gewinnen.

Digitale Wirtschaft

Die gängigste Methode für das Management großer Netzwerke ist das Sampling. Die Methode enthüllt die lokale Statistik eines spärlichen Graphen, die Verteilung von r-Kugeln für jedes r. Die Eigenschaft eines Graphen ist erzwingbar, wenn lokale Statistiken vorhanden sind, sodass jeder Graph mit einer solchen Statistik Eigenschaften besitzt. Vor diesem Hintergrund adressierte das EU-finanzierte Projekt BAG (Benjamini-Schramm approximation of groups and graphings) zwei grundlegende Fragen, die sich in allen Bereichen auftun, in denen sich große Graphen zu zentralen Gegenständen entwickelt haben. Welche Grapheneigenschaften sind erzwingbar? Kann in Anbetracht einer erzwungenen Farbeigenschaft eines Graphen eine richtige Farbeigenschaft effizient gefunden werden? Die zentrale Erkenntnis von BAG ist ein Nachweis der Bowenschen Hypothese an Kazhdanschen Gruppen. Dies zeigt, dass sich die Expansionseigenschaften großer Netzwerke über lokale Bedingungen erzwingen lassen. Dies stellt ein vielversprechendes Instrument zur Lösung des zentralen Problems bei der Erstellung einer nicht sofischen (nicht approximierbaren) Gruppe. Das Ergebnis bietet von der Ergodentheorie bis zur Topologie und Graphentheorie zahlreiche Anwendungsmöglichkeiten. Es wurden außerdem erneut die Theorien von Michael H. Freedman, Matthew B. Hastings, Assaf Naor und L. M. Lovasz. bewiesen. Die Forscher wandten für Probleme bezüglich der Erfüllung von Lösungsbedingungen einen analytischen Ansatz auf die bekannte Dichotomie-Hypothese an. Es wurde ein neuer deterministischer Algorithmus bezüglich des Problems des approximierten, am nächsten gelegenen Vektors implementiert – eines der grundlegendsten geometrischen Probleme. Der Ansatz basierte auf einer randomisierten Sparsifikation, die unter Anwendung des Pseudozufallskonzepts entrandomisiert werden kann. Die Projektpartner verbesserten die Gaboriau-Lyons-Lösung für das dynamische von-Neumann-Problem bezüglich nicht mittelbarer Gruppen. Außerdem wurde das Nicolas-Monod-Problem bezüglich geometrischer Zufallsuntergruppen gelöst. Schließlich bewies das BAG-Team, dass der normalisierte Logarithmus der Zahl an Übereinstimmungen in einem Graphen bestimmbar ist. BAG enthüllte bessere Möglichkeiten für den Umgang mit großen Graphen und Netzwerken, und war dabei behilflich, einige der zentralen Probleme anzugehen, die in verschiedenen Bereichen zutage treten.

Schlüsselbegriffe

Netzwerke, Graphen, BAG, Benjamini-Schramm, Graphen

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