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Mathematik und Informatik: Diese Zusammenarbeit ist logisch

Eine EU-finanzierte Initiative hat Fortschritte in der Kombination von Forschungsarbeit und Kollaborationen an zwei bisher getrennten mathematischen Theorien realisiert, um wichtige Herausforderungen der Komplexitätstheorie anzugehen. Diese Forschung wurde im Rahmen der Marie-Skłodowska-Curie-Maßnahmen durchgeführt.

Grundlagenforschung

Allgemeines Ziel dieses Forschungsgebiets ist zu verstehen, wie „schwierig“ es ist, eine algorithmische Lösung für ein Rechenproblem zu finden. Zur Beantwortung dieser Frage muss jedoch zunächst eine Entscheidung getroffen werden, was ein gutes Maß für „Schwierigkeit“ ist. Gibt es beispielsweise einen Bezug zu der Zeit, die ein durchschnittlicher Personalcomputer zur Lösung des Problems braucht, oder zum benötigten Speicherplatz? Oder handelt es sich um eine Kombination aus beidem? Diese allgemeine Methode zur Beschreibung der Schwierigkeit eines Problems durch Logik wird als deskriptive Komplexität bezeichnet. „Im Rahmen des Projekts DFLOW haben wir eine Reihe spezieller logischer Systeme untersucht, die als Logiken für endliche und unendliche Wörter bekannt sind“, erklärt Projektforscher Dr. Sam van Gool. Wie er erläutert, bezieht sich der Begriff „Wörter“ auf Daten mit einer eindimensionalen, linearen Struktur, die im Gegensatz zu etwa Daten mit Baumstruktur von links nach rechts gelesen werden können. Seiner Erklärung zufolge ist die Untersuchung dieser logischen Systeme kein neues Gebiet, sondern war „die wichtigste Neuerung von DFLOW, zwei verschiedene und bisher getrennte mathematische Theorien zu kombinieren, um die wichtigsten Herausforderungen in diesem Forschungsgebiet anzugehen.“ Ziel von DFLOW war, diese jüngste Idee einer Kombination dieser Theorien, der Halbgruppentheorie und der Stone-Dualität, auf eine spezielle Klasse von logischen Systemen anzuwenden. Zusammenarbeit unter Fachleuten Nachdem Dr. van Gool zuvor die mathematische Theorie der Stone-Dualität untersucht hatte, wollte er mit diesem Projekt sein Wissen über die Halbgruppentheorie und ihre Anwendung zur Untersuchung der Logik erweitern. Dieser Wunsch nahm durch Forschungskooperationen mit Prof. Benjamin Steinberg und Prof. Yde Venema am City College of New York bzw. an der Universiteit van Amsterdam Realität an. Das Projekt unterstützte außerdem die Beschleunigung anderer relevanter Formen der Forschungszusammenarbeit. Wie die Kollegen im Einzelnen berichten, „förderte das Projekt Fortschritte in der gemeinsamen Arbeit mit Prof. Silvio Ghilardi (Universität Mailand) an logischen Systemen und einem anderen mathematischen Thema, der Modelltheorie.“ Folglich bestand das Hauptergebnis des Dreijahresprojekts aus neun Forschungsartikeln von Dr. van Gool. Vier davon wurden gemeinsam mit Prof. Steinberg verfasst. Noch in Vorbereitung befinden sich ein weiterer Forschungsartikel in Zusammenarbeit mit Prof. Venema und zwei weitere mit Prof. Steinberg. Aufgrund des fachgebietsübergreifenden Charakters des Projekts wurde besonders darauf geachtet, die Forschung sowohl im Kontext der Mathematik als auch der Informatik zu verbreiten. Der Projektstipendiat nennt die Publikation, die er zusammen mit Prof. Steinberg verfasst hat und in Advances in Mathematics veröffentlicht wurde, als die prestigeträchtigste auf mathematischer Seite. Seitens der Informatik vergibt er diesen Platz an die Publikation zum Symposium on Logic in Computer Science (LICS 2016) mit Prof. Ghilardi. Beide Felder zusammenführen Auf die Frage nach dem größten Erfolg des Projekts hob Dr. van Gool „die Schaffung einer neuen Zusammenarbeit zwischen Fachleuten auf den Gebieten der Halbgruppentheorie und der Stone-Dualität in der Logik“ hervor. Dabei handelt es sich um einen wichtigen Schritt, da die Interaktion zwischen beiden Gebieten bisher begrenzt war. Dr. van Gool wird auf den innerhalb des Projekts gewonnenen Erkenntnissen aufbauen. Er plant, einige Verfahren auf komplexere Datenstrukturen, einschließlich Bäume, auszudehnen. Eine weitere geplante Forschungsrichtung betrifft ganz neue Entwicklungen bei logischen Systemen im Zusammenhang mit jenen, die in DFLOW betrachtet wurden.

Schlüsselbegriffe

DFLOW, logische Systeme, Informatik, Mathematik, mathematische Theorien, Halbgruppentheorie, Stone-Dualität, Komplexitätstheorie

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