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Hilbert Modular Forms and Diophantine Applications

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Argomenti speciali della teoria dei numeri

Un progetto finanziato dall'UE ha sviluppato nuovi strumenti analitici per il calcolo di soluzioni a complesse equazioni matematiche. Gli sviluppi ottenuti consentiranno la soluzione di problemi a lungo irrisolti nella teoria dei numeri e forniranno un importante nuovo modulo per il software disponibile commercialmente.

Economia digitale

Una delle equazioni più stupefacentemente semplici, per quanto riguarda la matematica, è stata dibattuta per più di 350 anni malgrado sia il teorema con il più alto numero di false dimostrazioni pubblicate di tutti i tempi. L'ultimo teorema di Fermat, postulato nel 1600, stabilisce che l'equazione xn + yn = zn non ha soluzioni intere diverse da zero per x, y e z se n è un intero maggiore di 2 (se n=2, l'equazione è quella del ben noto teorema di Pitagora). Andrew Wiles ha finalmente dimostrato il teorema nel 1994, aprendo la strada a vari progressi nei numerosi campi correlati della matematica e, in particolare, nella teoria dei numeri. I ricercatori europei miravano ad ampliare il lavoro di Wiles e altri sino al campo delle forme automorfiche e delle forme modulari di Hilbert mediante il progetto HMF ("Hilbert modular forms and Diophantine applications"). Le forme automorfiche sono uno degli argomenti più complessi della teoria dei numeri e hanno numerose applicazioni, oltre al loro utilizzo da parte di Wiles per la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat. Esse sono intrinsecamente correlate ai numeri primi, posti recentemente alla base delle transazioni sicure attraverso Internet. Inoltre, uno dei metodi più importanti per la costruzione di forme automorfiche è anche basilare la meccanica quantistica. Le forme modulari sono un caso particolare di forma automorfica. Si tratta di funzioni altamente simmetriche nella famiglia delle curve ellittiche. Le forme modulari di Hilbert hanno numerose applicazioni per le cosiddette equazioni diofantine, equazioni polinomiali indeterminate le cui variabili possono essere solo interi (compresa quindi l'equazione di Fermat). Dato che la soluzione di numerosi problemi diofantini richiede la comprensione esplicita delle più difficili forme modulari di Hilbert e automorfiche, i ricercatori del progetto HMF hanno sviluppato solidi algoritmi per il calcolo delle forme modulari di Hilbert, algoritmi che sono stati incorporati nel sistema software di calcolo algebrico MAGMA. Il lavoro del progetto ha così contribuito a risolvere una congettura matematica chiave da lungo in sospeso e ha fornito un'importante risultato in relazione ad altre ipotesi. I risultati del progetto HMF fanno progredire il campo delle forme automorfiche e hanno contribuito allo sviluppo di importanti algoritmi per un programma software di calcolo ben noto e molto diffuso in commercio. Dal lavoro ci si attende un grande numero di applicazioni, sia nel campo della ricerca fondamentale in matematica, sia dalla ricerca applicata in relazione alla teoria dei numeri.

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