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Aspects of G2 Geometry

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Außergewöhnliche Algebra

Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten sind als nicht-triviale Lösungen für Einsteins Theorie der Schwerkraft entstanden. Da eine detaillierte Beschreibung dieser bizarren mehrdimensionalen Räume nicht zur Verfügung steht, haben EU-finanzierte Wissenschaftler eine große Anzahl von verschiedenen Mannigfaltigkeiten konstruiert.

Klimawandel und Umwelt

Im Laufe der dreijährigen Laufzeit des Projekts "Aspects of G2 geometry" (G2 GEOMETRY) wurden zahlreiche algebraische Techniken erfolgreich bei der Konstruktion von Calabi-Yau-Dreifaltigkeiten verwendet. In drei komplexen Dimensionen wurden sechs Dimensionen des 10D Universum, in dem wir laut String-Theorie leben, aufgerollt. Für unsere Sinne sind nur vier zugänglich - weshalb die Erde auf den kleinen Skalen, die wir sehen, flach aussieht. In der Calabi-Yau-Dreifaltigkeit waren sechs Dimensionen verborgen, so dass die resultierende 4D Theorie eine gewisse Menge an Supersymmetrie beibehalten könnte. Supersymmetrie ist eine der besten Kandidaten für die Physik jenseits des Standardmodells, eine Theorie die elektromagnetische, schwache und starke Kernwechselwirkungen beschreibt. Ausgehend von diesen Calabi-Yau-Dreifaltigkeiten als Bausteine, konstruierten die Wissenschaftler von G2 GEOMETRY viele neue G2-Mannigfaltigkeiten. G2-Mannigfaltigkeiten sind Modelle der zusätzlichen Dimensionen der M-Theorie, die über die Supersymmetrie hinausgeht. Insbesondere umfasst die M-Theorie die Schwerkraft und ist supersymmetrisch wie auch quantenmechanisch konsistent. Mathematiker von G2 GEOMETRY konstruierten kompakte G2-Mannigfaltigkeiten von verdrehten verbunden Summen von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten. Nachdem die Kovalev-Methodik verallgemeinert wurde, konnten sie verschiedene Metriken auf den G2-Mannigfaltigkeiten berechnen, die auf diese Weise gebaut waren. In diesen G2-Mannigfaltigkeiten wurden kompakte Unter-Mannigfaltigkeiten mit Hilfe von starren Kurven konstruiert. Obwohl G2-Mannigfaltigkeiten in vielfältiger Weise miteinander verbunden sein können, sind dies die ersten Beispiele von starren Unter-Mannigfaltigkeiten die unterschiedliche 7D-Räume miteinander verbinden. Während viele Eigenschaften der G2-Mannigfaltigkeiten im Rahmen des G2 GEOMETRY Projekts entdeckt wurden, sind noch mehr Fragen dazu, wie man zwischen den Kategorien von Mannigfaltigkeiten unterscheiden kann, aufgekommen. Ein Großteil der Forschung im G2 GEOMETRY Projekt wurde von Fragen aus der theoretischen Physik inspiriert. Der in der Differentialgeometrie erreichte Fortschritt sollte, auf der anderen Seite, unser Verständnis von der fundamentalen Theorie hinter Superstring- und M-Theorien erweitern.

Schlüsselbegriffe

Algebra, Calabi-Yau, Verteiler, mehrdimensionale Räume, G2 Geometrie, Geometrie, Supersymmetrie, Standardmodell, G2 Verteiler, M-Theorie

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