El álgebra se une a la teoría de la demostración

Tradicionalmente, el álgebra y la teoría de la demostración se han desarrollado en paralelo, sin cruzarse. No obstante, un proyecto financiado por la Unión Europea ha identificado relaciones entre estas dos áreas de las matemáticas con aplicaciones muy interesantes para la informática.

Economía digital

Los investigadores decidieron que no era suficiente comparar los resultados de los dos enfoques para establecer la relación entre el álgebra y la teoría de la demostración. Por este motivo, fue necesario aplicar métodos y técnicas de cada uno de los campos para obtener demostraciones en el otro. La nueva disciplina que emergió del proyecto «Proof-theoretic methods in algebra» (PROALG) se denominó teoría algebraica de la demostración. Bajo los auspicios del proyecto PROALG, matemáticos de todo el mundo aunaron sus esfuerzos. Algunos aportaron conocimientos sobre la teoría de la demostración, donde las demostraciones se representan como fórmulas matemáticas con estructuras lógicas que se pueden analizar. Otros aportaron su amplia experiencia en estructuras algebraicas, que consisten en elementos relacionados con operadores que cumplen determinados axiomas. La pregunta a la que se enfrentaron todos fue qué demostraciones corresponderán a una fórmula determinada si esta es demostrable. Durante el transcurso del proyecto PROALG, los científicos buscaron y encontraron demostraciones para estructuras algebraicas como grupos parcialmente ordenados. También las utilizaron para obtener demostraciones de teoremas fundamentales sobre cada tipo de estructura algebraica. A continuación, se utilizó la relación hallada entre el álgebra y la teoría de la demostración para realizar un análisis matemático detallado de las reglas de lógica difusa. Las estructuras de la lógica difusa intentan reflejar la imprecisión o indeterminación del mundo real, aspecto que las matemáticas clásicas abordan mediante la teoría de la probabilidad. Los científicos de PROALG lograron demostrar nuevas demostraciones de cálculo para reflejar la incertidumbre y la necesidad. Para el proyecto PROALG, el desarrollo de las demostraciones de cálculo analítico para lógica difusa y otros tipos de lógica no clásica no fue una tarea teórica solamente. Además de establecer sus propiedades fundamentales, consistencia y complejidad computacional, es esencial para sus aplicaciones. Las demostraciones de cálculo se realizan desglosando las fórmulas paso a paso. Este método es un requisito previo para automatizar la búsqueda de demostraciones. Mediante las relaciones estrechas con la informática, se espera que la teoría algebraica de la demostración resulte útil en áreas de investigación fuera de las matemáticas tradicionales. Entre otros, la nueva teoría puede contribuir a verificar programas informáticos. Los hallazgos principales del proyecto PROALG se difundieron entre la comunidad científica mediante ocho artículos en revistas y presentaciones en congresos.