Lorsque l'algèbre rencontre la théorie de la preuve
Des chercheurs ont cependant décidé qu'il ne suffisait pas de comparer les résultats de deux approches différentes pour établir la relation entre l'algèbre et la théorie de la preuve. Il était donc nécessaire d'appliquer des méthodes et des techniques de chaque domaine pour obtenir des preuves de l'autre. Les travaux du projet PROALG («Proof-theoretic methods in algebra») ont débouché sur une nouvelle discipline, nommée théorie de la preuve algébrique. Des mathématiciens du monde entier se sont associés dans le cadre du projet PROALG. Certains ont apporté leur expertise dans la théorie de la preuve, où les preuves sont représentées par des formules mathématiques avec une structure logique que l'on peut analyser. D'autres ont apporté leur expérience dans les structures algébriques, constituées d'éléments liés par des opérateurs obéissant à certains axiomes. La question était de savoir quelles preuves aurait une formule donnée, si elle était démontrable? Durant le projet PROALG, les scientifiques ont cherché et trouvé des preuves pour des structures algébriques, telles que les groupes partiellement ordonnés. Ils les ont utilisées pour obtenir des preuves de certains théorèmes fondamentaux et de chaque catégorie de structures algébriques. Ils ont alors utilisé les relations trouvées entre l'algèbre et la théorie de la preuve pour conduire une analyse mathématique approfondie des règles de la logique floue. Les structures de la logique floue essaient d'intégrer le flou ou l'imprécision du monde réel, un point que les mathématiques classiques approchent par la théorie de la probabilité. Les scientifiques de PROALG ont ainsi défini de nouvelles preuves de calcul pour intégrer l'incertitude et la nécessité. Mais le développement de preuves de calcul analytiques pour la logique floue et d'autres types de logique non classique n'était pas seulement une tâche théorique pour le projet PROALG. Il fallait définir leurs propriétés fondamentales comme la cohérence et la complexité informatique, afin de les utiliser. Les preuves de calcul procèdent en décomposant les formules, étape par étape. Cette méthodologie est requise pour automatiser la recherche de preuves. Grâce à ses relations étroites avec l'informatique, la théorie de la preuve algébrique devrait contribuer aux recherches au-delà des mathématiques classiques. Elle pourrait servir entre autres à vérifier des programmes d'ordinateur. Le projet PROALG a partagé ses principaux résultats avec les autres chercheurs, via 8 articles et des présentations lors de conférences.
Mots‑clés
Mathématiques, algèbre, théorie de la preuve, logique floue, calcul, informatique, automatisation, programme d'ordinateur
