Algebra spotyka teorię dowodu
Badacze stwierdzili, że do zdefiniowania powiązań między algebrą a teorią dowodu nie wystarczy samo porównywanie wyników uzyskiwanych według obu podejść. Zajęto się zatem zastosowaniem metod i technik z jednej dziedziny do przeprowadzania dowodów w drugiej. Nową dziedzinę matematyki stworzoną dzięki wysiłkom projektu "Proof-theoretic methods in algebra" (PROALG) nazwano algebraiczną teorią dowodu. Pod egidą projektu PROALG połączyli siły matematycy z całego świata. Jedni dostarczali swojej wiedzy z zakresu teorii dowodu, w której dowody są zapisywane w postaci wzorów matematycznych o strukturze logicznej umożliwiającej dalszą analizę. Inny wnieśli bogate doświadczenie z zakresu struktur algebraicznych, na które składają się elementy powiązane operatorami i spełniające określone aksjomaty. Wszyscy musieli się jednak zmierzyć z kluczowym pytaniem: jakie dowody będzie mieć wzór, jeśli daje się on udowodnić? W toku projektu PROALG badacze pomyślnie znaleźli dowody dotyczące niektórych struktur algebraicznych, między innymi grup częściowo uporządkowanych. Na ich podstawie wyprowadzono dowody twierdzeń fundamentalnych w poszczególnych klasach struktur algebraicznych. Zidentyfikowane w ten sposób powiązania między algebrą a teorią dowodu wykorzystano następnie do szczegółowej analizy matematycznej reguł logiki rozmytej. Zadaniem struktur stosowanych w logice rozmytej jest wyrażenie niedokładności występujących w świecie rzeczywistym — najbliższym tematycznie obszarem matematyki klasycznej jest tu rachunek prawdopodobieństwa. Uczestnikom projektu PROALG udało się zdefiniować w rachunku całkowym nowe dowody wyrażające pojęcia niepewności i konieczności. Opracowanie dowodów analizy całkowej dla logiki rozmytej i innych rodzajów logiki nieklasycznej było dla projektu PROALG zadaniem o znaczeniu nie tylko teoretycznym. Poza zdefiniowaniem fundamentalnych właściwości poszczególnych rodzajów logiki, w tym ich spójności i złożoności obliczeniowej, dowody mają kluczowe znaczenie dla zastosowań praktycznych. Dowody całkowe są przeprowadzane poprzez rozbijanie wzorów na etapy. Taka metodologia jest niezbędna dla automatyzacji poszukiwania dowodów. Dzięki bliskim powiązaniom z informatyką algebraiczna teoria dowodu powinna wnieść znaczący wkład w badania wykraczające poza matematykę tradycyjną. Nowa teoria mogłaby między innymi umożliwić sprawdzanie programów komputerowych. Kluczowe wyniki projektu PROALG zaprezentowano społeczności naukowej w ośmiu artykułach naukowych oraz poprzez odczyty na konferencjach.
