Quando l'algebra incontra la teoria della dimostrazione
I ricercatori hanno deciso che non era sufficiente confrontare i risultati dei due diversi approcci per stabilire la connessione tra algebra e teoria della dimostrazione. Era quindi necessario applicare metodi e tecniche di ciascun campo per ottenere prove nell'altro. La nuova disciplina che è emersa dal progetto PROALG ("Proof-theoretic methods in algebra") è stata chiamata teoria della dimostrazione algebrica. Matematici di tutto il mondo hanno fatto confluire il loro lavoro nel progetto PROALG. Alcuni hanno offerto competenze nella teoria della dimostrazione, nella quale le prove sono rappresentate da formule matematiche con una struttura logica che può essere analizzata. Altri hanno contribuito con la loro esperienza nelle strutture algebriche, che consistono in elementi legati da sistemi di operazioni che soddisfano certi assiomi. La domanda davanti alla quale si sono trovati tutti era quale prova avrà una data formula, se è dimostrabile? Nel corso del progetto PROALG, gli scienziati hanno cercato e trovato prove delle strutture algebriche come gruppi parzialmente ordinati. Li hanno usati per ottenere prove per teoremi fondamentali di ogni classe di strutture algebriche. Il rapporto trovato tra l'algebra e la teoria della dimostrazione è stato poi usato per un'analisi completa delle regole della logica fuzzy. Le strutture della logica fuzzy cercano di catturare l'indeterminatezza o imprecisione del mondo reale, una cosa alla quale la matematica classica si avvicina attraverso la teoria della probabilità. Gli scienziati di PROALG sono riusciti a definire nuove prove di calcolo per catturare l'incertezza e la necessità. Lo sviluppo di prove di calcolo analitico per la logica fuzzy e altri tipi di logica non classica, non era solo un compito teorico per il progetto PROALG. Oltre a determinare le loro proprietà fondamentali, come la coerenza e la complessità computazionale, è fondamentale per le sue applicazioni. Le prove di calcolo procedono scomponendo le formule passo dopo passo. Questa metodologia è un prerequisito per l'automazione della ricerca della prova. Attraverso le strette connessioni con l'informatica, la teoria della dimostrazione algebrica dovrebbe contribuire a settori di ricerca al di fuori della matematica tradizionale. Tra le altre cose, la nuova teoria può contribuire a verificare i programmi per computer. I principali risultati del progetto PROALG sono stati condivisi con la comunità di ricerca in otto articoli pubblicati su riviste e presentazioni in conferenze.
Parole chiave
Matematica, algebra, teoria della dimostrazione, logica fuzzy, calcolo, informatica, automazione, programma per computer
