Wenn Algebra auf Beweistheorie trifft
Die Forscher entschieden, dass der bloße Vergleich der Ergebnisse von Algebra und Beweistheorie nicht ausreicht, um eine Verbindung zwischen Algebra und Beweistheorie herzustellen. Es ist daher erforderlich, dass die Methoden beider Ansätze wechselseitig angewandt werden, um gegenseitig verbindliche Beweise zu erhalten. So ging aus dem Projekt 'Proof-theoretic methods in algebra' (PROALG) die neue Disziplin der algebraischen Beweistheorie hervor. Unter dem PROLAG-Projekt wurden die Arbeiten von Mathematikern aus der ganzen Welt miteinander verbunden. Dabei stellen die Beweistheoriker ihre Arbeit in mathematischen Formeln mit logisch analysierbaren Strukturen dar, während die Algebra-Experten ihre langjährige Erfahrung mit Strukturen beisteuern, deren Elemente mithilfe von Operatoren anhand bestimmter Axiome berechnet werden. Sie alle waren mit der Frage konfrontiert, ob und wie bestimmte Formeln beweisbar sind. Im Verlauf des PROALG-Projekts suchten und fanden die Wissenschaftler Nachweise algebraischer Strukturen, z. B. teilweise geordneter Gruppen. Sie setzten sie ein, um die jeweiligen Hauptsätze der algebraischen Strukturklassen zu beweisen. Die ermittelte Beziehung zwischen Algebra und Beweistheorie wurde anschließend für eine gründliche mathematische Analyse von Fuzzy-Logik-Regeln angewendet. Mit dem Fuzzy-Logik-Ansatz wird versucht, ähnlich der Wahrscheinlichkeitstheorie in der klassischen Mathematik, die Ungenauigkeit der realen Welt zu erfassen. Für diese Unschärfe haben die PROALG-Forscher erfolgreich neue Beweisverfahren definiert. Für das PROALG-Projekt war die Entwicklung analytischer Beweismethoden für Fuzzy-Logik und andere unkonventionelle Logikformen jedoch keine rein theoretische Aufgabe. Außer zur Darstellung ihrer grundlegenden Eigenschaften, darunter Konsistenz und rechnerische Komplexität, ist sie entscheidend für deren praktische Anwendungen. Die analytischen Beweismethoden der algebraischen Beweistheorie zerlegten eine Formel Schritt für Schritt. Diese Methodik ist eine Voraussetzung zur Automatisierung der Beweissuche. Dank ihrer engen Verbindung zur Informatik wird diese neue Disziplin zu Forschungsgebieten außerhalb der traditionellen Mathematik beitragen. Außerdem kann sie dabei helfen, neue Computerprogramme zu verifizieren. Die Forschungsgemeinschaft wurde mit acht Artikeln in Fachzeitschriften und mit Konferenzbeiträgen über die wichtigsten Ergebnisse des PROALG-Projekts informiert.
