Classifier les variétés magnifiques
Le projet Smooth («Smoothness of the invariant Hilbert scheme of affine spherical varieties for the existence of wonderful varieties») visait à établir une nouvelle classe spéciale de variétés sphériques, appelées magnifiques, en démontrant une conjecture de Luna. Cette théorie stipule qu'il existe une correspondance un-un entre des classes de forme équivalente de variétés magnifiques et de systèmes sphériques. Un système sphérique est un système de coordonnées pour l'espace tridimensionnel qui est utile pour analyser les systèmes avec un certain degré de symétrie sur un point, comme par exemple dans une sphère. Les chercheurs ont proposé de fournir la variété magnifique correspondant à un système sphérique donné en étudiant les propriétés géométriques du schéma de Hilbert invariant utilisé pour classifier les problèmes de certaines variétés algébriques. Cependant, au début de ce projet financé par l'UE, les partenaires ont découvert que cette méthode particulière de recherche était déjà utilisée par d'autres à un stade plus avancé de développement. Ils ont par conséquent décidé de continuer à travailler à la classification de variétés sphériques via la conjecture de Luna, mais avec des méthodes différentes. Les études analysant de manière approfondie la combinatoire (c'est-à-dire les mesures de structures dans un contexte algébrique) des systèmes sphériques ont permis de mieux comprendre leurs interactions avec la géométrie des variétés magnifiques. Cela a représenté le début du développement d'une théorie plus complète des variétés magnifiques. Les chercheurs du projet Smooth ont réussi à résoudre les problèmes techniques qui se sont présentés au cours de leur travail sur la généralisation de l'approche originale de Luna à la classification. De manière importante, ils ont également réussi à formuler la stratégie nécessaire pour prouver complètement la conjecture de Luna, ce qui n'avait jusqu'alors été fait que partiellement, sous certaines hypothèses. Le travail mené dans le cadre du projet Smooth a permis une approche constructive de la classification, fournissant un algorithme pour associer une variété magnifique à un système sphérique donné.