Klassifizierung von sphärischen Varietäten
Das SMOOTH-Projekt ("Smoothness of the Invariant Hilbert Scheme of Affine Spherical Varieties for the Existence of Wonderful Varieties") hatte zum Ziel, eine spezielle Klasse von sphärischen Varietäten, die als "Wonderful" bezeichnet werden, durch den Beweis der Luna-Conjecture zu klassifizieren. Diese Theorie besagt, dass es eine Eins-zu-eins-Übereinstimmung zwischen gleich geformten Klassen so genannter "Wonderful Varieties" und sphärischer Systeme gibt. Ein sphärisches System ist ein Koordinatensystem für den dreidimensionalen Raum, welches für die Analyse von Systemen mit gewisser Symmetrie um einen Punkt herum, wie bei einer Sphäre, hilfreich ist. Die Forscher schlugen vor, die korrespondierende "Wonderful Variety" eines sphärischen Systems durch die Untersuchung der geometrischen Eigenschaften des invarianten Hilbert-Schemas, welches für die Klassifizierung von Problemen bestimmter algebraischer Varietäten herangezogen wird, zu erstellen. Zu Beginn dieses EU-finanzierten Projekts stellten die Partner jedoch fest, dass die spezielle verwendete Methode schon von Anderen eingesetzt wurde und sich bereits auf einer höheren Entwicklungsstufe befand. Sie entschieden sich daher, an der Klassifizierung sphärischer Varietäten mithilfe der Luna-Conjecture weiterzuarbeiten, jedoch mit anderen Methoden. Untersuchungen, welche die Kombinatorik (also der Messung von Strukturen in einem algebraischen Kontext) der so genannten sphärischen Systeme intensiv analysierten, führten zu einem besseren Verständnis des Zusammenspiels mit der Geometrie von "Wonderful Varieties". Dies markierte den Beginn der Entwicklung einer vollständigeren Theorie von "Wonderful Varieties". Den Forschern des SMOOTH-Projekts gelang es, technische Probleme zu überwinden, welche sich während ihrer Bemühungen, den ursprünglichen Luna-Ansatz bezüglich der Klassifikation zu verallgemeinern, ergaben. Darüber hinaus gelang ihnen auch die Formulierung der Strategie, die Luna-Conjecture vollständig zu beweisen, was bislang nur teilweise unter Verwendung einiger Hypothesen gelang. Die Arbeiten des SMOOTH-Projekts bieten einen konstruktiven Ansatz zur Klassifizierung und ermöglichen einen Algorithmus, eine "Wonderful Variety" einem gegebenen sphärischen System zuzuordnen.