Klasyfikowanie rozmaitości cudownych
Celem projektu o nazwie "Gładkość niezmiennikowej teorii Hilberta w afinicznych rozmaitościach sferycznych w odniesieniu do istnienia rozmaitości cudownych" ('Smoothness of the invariant Hilbert scheme of affine spherical varieties for the existence of wonderful varieties' - Smooth) było dokonanie klasyfikacji specjalnej klasy rozmaitości sferycznych, zwanych cudownymi, poprzez udowodnienie hipotezy Luna. Zgodnie z powyższą teorią istnieje odpowiedniość "jeden do jeden" pomiędzy identycznie ukształtowanymi klasami rozmaitości cudownych, a systemami sferycznymi. System sferyczny to system współrzędnych opisujący przestrzeń trójwymiarową, przydatny do badania systemów o pewnym stopniu symetrii punktowej, np. sfer. Naukowcy zaproponowali opisanie rozmaitości cudownych, odpowiadających danemu systemowi sferycznemu, poprzez zbadanie właściwości geometrycznych niezmiennikowej teorii Hilberta, stosowanej do klasyfikowania problemów z zakresu niektórych rozmaitości algebraicznych. Jednakże po rozpoczęciu powyższego projektu (finansowanego ze środków UE), jego uczestnicy odkryli, że obrane przez nich podejście badawcze zostało już wykorzystane przez inny zespół naukowy i jest w zaawansowanym stadium rozwoju. W związku z tym uczestnicy projektu postanowili kontynuować prace nad hipotezą Luna w odniesieniu do rozmaitości sferycznych, wykorzystując jednak inne metody. Dogłębne badania dotyczące analizy kombinatorycznej (pomiaru struktur w kontekście algebraicznym) systemów sferycznych pozwoliły lepiej zrozumieć ich powiązania z geometrią rozmaitości cudownych. Powyższe osiągnięcia stanowiły podstawę do opracowania bardziej kompletnej teorii rozmaitości cudownych. Naukowcom uczestniczącym w projekcie 'Smooth' udało się rozwiązać problemy techniczne, które napotkano podczas prób uogólnienia oryginalnego podejścia klasyfikacyjnego Luna. Co istotne, badaczom udało się także opracować strategię udowodnienia hipotezy Luna, którą jak dotychczas udało się dowieść jedynie częściowo, przy pewnych założeniach. Prace prowadzone w ramach projektu 'Smooth' opierały się na konstruktywnym podejściu do klasyfikacji, a ich wynikiem jest opracowanie algorytmu, pozwalającego powiązać rozmaitość cudowną z danym systemem sferycznym.