Classificazione delle varietà magnifiche
Il progetto Smooth (Smoothness of the invariant Hilbert scheme of affine spherical varieties for the existence of wonderful varieties) aveva lo scopo di classificare una speciale classe di varietà sferiche, chiamata magnifica, dimostrando la congettura di Luna. Questa teoria afferma che esiste una corrispondenza di uno a uno tra classi dalla stessa forma di varietà magnifiche e sistemi sferici. Un sistema sferico è un sistema di coordinate per lo spazio tridimensionale utile per analizzare sistemi con un determinato livello di simmetria attorno a un punto, come all'interno di una sfera. I ricercatori hanno proposto di fornire la varietà magnifica corrispondente a un dato sistema sferico studiando le proprietà geometriche dello schema di Hilbert sugli invarianti, usato per classificare i problemi di determinate varietà algebriche. Ma all'inizio di questo progetto finanziato dall'UE i partner hanno scoperto che il metodo particolare di ricerca veniva già usato da altri in una fase di sviluppo avanzata. Hanno quindi deciso di continuare il lavoro sulla classificazione delle varietà sferiche tramite la congettura di Luna, ma con metodi diversi. Gli studi che analizzano ampiamente la combinatoria (ovvero le misurazioni di strutture in un contesto algebrico) dei cosiddetti sistemi sferici hanno consentito di comprendere meglio l'interazione con la geometria delle varietà magnifiche. È iniziato così lo sviluppo di una teoria più completa di varietà magnifiche. I ricercatori di Smooth sono riusciti a risolvere i problemi tecnici che si sono presentati durante i tentativi di generalizzare l'approccio originale di Luna alla classificazione. In particolare sono anche riusciti a formulare la strategia per dimostrare completamente la congettura di Luna, che fino a quel momento era stata dimostrata solo in parte con determinate ipotesi. Il lavoro del progetto Smooth ha offerto un approccio costruttivo alla classificazione e ha fornito un algoritmo per associare una varietà magnifica a un determinato sistema sferico.