El misterio de los espacios duales unitarios
Un grupo topológico es un objeto matemático con una estructura algebraica que permite realizar operaciones algebraicas en el estudio de las simetrías continuas, la convergencia y la conexión. Los grupos localmente compactos tienen numerosas representaciones unitarias entre las cuales, las representaciones regulares o casi regulares aparecen como espacios de funciones en lugar de estar afectadas por acciones de grupo. Escritas como integrales directas de representaciones irreductibles, el espacio de estas representaciones es el dual unitario del grupo. No obstante, este espacio es un misterio absoluto. El proyecto UB07 («Paseos aleatorios en grupos y teoría de representación») investiga el dual unitario de grupos localmente compactos mediante su división en «piezas» grandes con el fin de estudiar las relaciones mutuas entre ellas. En particular, este proyecto financiado por la Unión Europea se basa en la teoría de paseos aleatorios para analizar estas piezas denominadas serie principal generalizada. Los paseos aleatorios proporcionan espacios con ciertas propiedades que permiten observar los comportamientos de los procesos relacionados. Con este esfuerzo, los investigadores han propuesto una fórmula que vinculará el paseo aleatorio con las representaciones correspondientes. Hasta la fecha, los miembros del equipo han tenido éxito a la hora de probar sus hipótesis. La más importante de ellas era la conjetura de que las representaciones de la serie principal generalizada son irreductibles. Sus pruebas exitosas están relacionadas con casos en los cuales el grupo en particular es el grupo fundamental de un espacio o variedad topológica curvada negativamente. En el trabajo en curso, los socios del proyecto están dedicando sus esfuerzos a extender los resultados obtenidos descritos a la clase más amplia de los grupos hiperbólicos.
