Tajemnice podwójnych przestrzeni unitarnych
Grupa topologiczna jest obiektem matematycznym o strukturze algebraicznej, która pozwala na dokonywanie algebraicznych operacji przy badaniu ciągłych symetrii, zbieżności i powiązań. Grupy lokalnie zwarte posiadają wiele unitarnych reprezentacji, gdzie reprezentacja regularne lub quasi-regularne pojawiają się raczej w postaci przestrzeni funkcji aniżeli pod wpływem działania grupy. Rozpisane w formie bezpośrednich funkcji całkowania nieredukowalnych reprezentacji, przestrzenie tych reprezentacji stanowią grupę podwójnie unitarną. Przestrzeń ta pozostaje jednak całkowitą tajemnicą. W projekcie o nazwie "Błądzenie losowe w grupach i teoria reprezentacji" (UB07) badano unitarne podwójne przestrzenie w grupach lokalnie zwartych poprzez rozbijanie ich na większe "kawałki", w celu studiowania ich wzajemnych powiązań. Specyficznie biorąc, w celu przebadania takich kawałków, zwanych podstawowymi ciągami uogólnionymi, wymieniony, finansowany przez UE, projekt opierał się na teorii błądzenia losowego. Błądzenie losowe zapewnia przestrzenie o pewnych właściwościach, pozwalające na obserwację zachowania się powiązanych procesów. Rozwiązując to zagadnienie, naukowcy zaproponowali pewien wzór, który wiąże się z błądzeniem losowym w stosownych reprezentacjach. Członkowie zespołu pomyślnie udowodnili swoje hipotezy. Najważniejsze z nich polegały na założeniu, iż reprezentacje podstawowych ciągów uogólnionych są nieredukowalne. Pomyślne dowody nawiązują do przypadków, w których określone grupy posiadają formę podstawową w ujemnie zakrzywionej przestrzeni topologicznej lub rozmaitości. W ramach prowadzonych prac partnerzy projektu kierują swoje wysiłki w kierunku przeniesienia uzyskanych już rezultatów do szerszej klasy grup hiperbolicznych.
