Il mistero degli spazi duali unitari
Un gruppo topologico è un oggetto matematico con una struttura algebrica che consente operazioni algebriche nello studio delle simmetrie continue, della convergenza e della connessione. I gruppi localmente compatti hanno molte rappresentazioni unitarie dove le rappresentazioni regolari o quasi regolari avvengono come spazi di funzione e non vengono influenzate dall'azione del gruppo. Scritto come integrali diretti di rappresentazioni irriducibili, lo spazio di queste rappresentazioni è il duale unitario del gruppo. Ma questo spazio rimane un mistero. Il progetto UB07 (Random walks on groups and representation theory) sta studiando il duale unitario dei gruppi localmente compatti dividendoli in grandi "pezzi" per studiare i rapporti reciproci tra loro. Nello specifico il progetto finanziato dall'UE sta utilizzando la teoria delle passeggiate aleatorie per studiare i pezzi chiamati serie principali generalizzate. Le passeggiate aleatorie offrono spazi con determinate proprietà che consentono di osservare i comportamenti dei relativi processi. Grazie a ciò i ricercatori hanno proposto una formula per collegare le passeggiate aleatorie con le rappresentazioni corrispondenti. Finora i membri dell'equipe hanno offerto le proprie ipotesi. La più importante era la teoria che le rappresentazioni delle serie principali generalizzate siano irriducibili. Le prove ottenute fanno riferimento ai casi in cui il gruppo particolare è il gruppo fondamentale di uno spazio topologico con curva negativa, o manifold. Nel lavoro in corso i partner di progetto stanno lavorando per ampliare i risultati già ottenuti oltre la classe più ampia di gruppi iperbolici.