Das Mysterium unitärer dualer Räume
Eine topologische Gruppe ist ein mathematisches Objekt mit einer algebraischen Struktur, welche bei der Untersuchung kontinuierlicher Symmetrien, Konvergenzen und Verknüpfungen algebraische Operationen ermöglicht. Lokal kompakte Gruppen besitzen viele unitäre Darstellungen, bei denen reguläre oder quasi-reguläre Darstellungen Funktionsräume sind und nicht durch die Aktion der Gruppe beeinflusst werden. Der Raum dieser Darstellungen, direkte Integrale von irreduziblen Darstellungen, ist die unitäre duale Darstellung dieser Gruppe. Dieser Raum birgt jedoch noch viele Geheimnisse. Das UB07-Projekt ("Random Walks on Groups and Representation Theory") untersucht die unitäre Dualheit lokal kompakter Gruppen, indem diese in größere "Stücke" aufgebrochen werden, um die gegenseitigen Beziehungen zwischen ihnen zu untersuchen. Das EU-finanzierte Projekt basiert auf der Theorie der Zufallsbewegungen, um solche Stücke, generalisierte Hauptreihen genannt, zu untersuchen. Zufallsbewegungen bieten Räume mit gewissen Eigenschaften, welche die Beobachtung des Verhaltens von relevanten Prozessen ermöglichen. Hierdurch gelang es den Forschern, eine spezielle Formel vorzuschlagen, welche Zufallsbewegungen mit korrespondierenden Darstellungen verbindet. Die Forschungsmitglieder waren beim Beweis ihrer Hypothese erfolgreich. Die wichtigste These umfasst die Vermutung, dass Darstellungen der generalisierten Hauptreihe irreduzibel sind. Der erfolgreiche Nachweis gilt für Fälle, in denen die spezielle Gruppe die grundlegende Gruppe eines negativ gekrümmten topologischen Raumes ist. Im Rahmen der aktuellen Arbeiten bemühen sich die Projektpartner, die bereits bestehenden Ergebnisse auf die umfangreichere Klasse der hyperbolischen Gruppen zu erweitern.
