Le mystère des espaces dual unitaires.
Un groupe topologique est un concept mathématique dont la structure autorise les opérations algébriques pour l'étude des symétries continues, de la convergence et de la connexité. Les groupes localement compacts ont de nombreuses représentations unitaires, et les représentations régulières ou quasi-régulières sont des espaces de fonction au lieu d'être affectées par l'action du groupe. Écrit sous forme d'intégrales directes de représentations irréductibles, l'espace de ces représentations est le dual unitaire du groupe. Cependant, cet espace reste un mystère complet. Le projet UB07 («Random walks on groups and representation theory») étudie le dual unitaire de groupes localement compacts en les décomposant en gros «morceaux» pour étudier leurs relations. Ce projet financé par l'UE s'appuie sur la théorie des cheminements aléatoires pour étudier ces morceaux, nommés séries principales généralisées. La théorie des cheminements aléatoires confère aux espaces certaines propriétés qui permettent d'observer les comportements des processus associés. Dans ce but, les chercheurs ont proposé une formule qui relie un cheminement aléatoire aux représentations correspondantes. Les membres de l'équipe ont jusqu'ici démontré la validité de leurs hypothèses. La plus importante était une conjecture portant sur le caractère irréductible des séries principales généralisées. Leurs preuves sont relatives à des cas où le groupe en question est le groupe fondamental d'un espace topologique à courbure négative. Actuellement, les partenaires du projet visent à élargir les résultats à la classe plus large de groupes hyperboliques.
