Un mejor conocimiento de la estructura de las secuencias recurrentes
La famosa secuencia de Fibonacci, en la que cada término de la sucesión es la suma de los dos anteriores (1, 2, 3, 5, 8, etc.), pertenece al enorme grupo de sucesiones recurrentes. Las secuencias de divisibilidad elíptica son otro grupo importante de estas sucesiones que crecen mucho más rápido que la de Fibonacci. Éstas han sido objeto de un renovado interés durante los últimos años debido a su importancia en criptografía (relevante para los protocolos de seguridad rápidos para Internet) y en indecibilidad (relacionado con lo que es posible calcular con ordenadores). Los investigadores europeos financiados por el proyecto PIP («Puntos de integrales de potencia en curvas elípticas») pretendían comprender cualquier patrón o estructura que pudiera darse en secuencias de divisibilidad elíptica, centrándose en potencias puras dentro de las secuencias, de importancia fundamental para los problemas de seguridad en Internet. En trabajos anteriores, los científicos mostraron que para cualquier entero positivo mayor que 2 existe un conjunto finito de puntos en una curva elíptica (puntos de integral de potencia, PIP) que contiene los denominados puntos integrales. Desde entonces se ha visto que, en muchos casos, los PIP pueden encontrarse buscando las potencias perfectas en una secuencia de divisibilidad elíptica. Las potencias perfectas son números de la forma m^k, donde m es un entero positivo mayor que 1 (2, 3, etc.) Y k es igual a 2 o mayor (2, 3, 4, etc.). Así, las potencias perfectas son 2^2=4, 2^3=8, etc. El objetivo del proyecto PIP era determinar todos los PIP en familias de curvas elípticas. De hecho, aplicando un nuevo método modular basado en el trabajo de Andrew Wiles sobre el último teorema de Fermat, los investigadores encontraron todas las potencias perfectas en determinadas secuencias de divisibilidad elíptica, demostrando así la naturaleza finita de la solución (existe un número determinado de ellas) y la forma de encontrarlas. Los científicos mejoraron los resultados anteriores para primos en secuencias de divisibilidad elíptica y generalizaron los conceptos a las matrices. Los resultados de PIP podrían tener un impacto importante sobre diversos temas relacionados con la electrónica digital y la computación, así como ayudar a encontrar la solución de una nueva clase completa de ecuaciones matemáticas.