Die Struktur rekurrenter Folgen verstehen
Die berühmte Fibonacci-Folge, bei der jede der aufeinander folgenden Zahlen die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen ist (1, 2, 3, 5, 8 usw.), ist eine der großen Klassen sogenannter rekurrenter Folgen. Eine weitere wichtige Gruppe derartiger Folgen sind elliptische Teilbarkeitsfolgen, die sehr viel schneller als die Fibonacci-Folge ansteigen. Elliptische Teilbarkeitsfolgen standen in den letzten Jahren aufgrund ihrer Bedeutung für die Kryptographie (wichtig für schnelle Sicherheitsprotokolle im Internet) und die Unentscheidbarkeit (darauf bezogen, was mit Computern zu berechnen ist) erneut im Mittelpunkt des Interesses. Europäische Forscher, die im Rahmen des PIP-Projekts ("Power-integral points on elliptic curves") finanziell unterstützt wurden, wollten jegliches Muster bzw. jede Struktur durchschauen, die in elliptischen Teilbarkeitsfolgen auftreten können, wobei ein Schwerpunkt auf den reinen Potenzen in solchen Folgen lag, die von grundlegender Bedeutung für Fragen der Internetsicherheit sind. Der Wissenschaftler konnte in früheren Arbeiten beweisen, dass es für jede positive ganze Zahl größer 2 eine endliche Menge von Punkten auf einer elliptischen Kurve (integrale Potenzpunkte, power integral points, PIP) gibt, welche die sogenannten integralen Punkte enthält. Es hat sich seither gezeigt, dass diese PIPs in vielen Fällen dadurch auffindbar sind, dass die perfekten Potenzen in einer elliptischen Teilbarkeitsfolge gefunden werden. Perfekte Potenzen sind Zahlen in der Form m^k, wobei m eine positive ganze Zahl größer als 1 (2, 3 usw.) und k größer oder gleich 2 (2, 3, 4 usw.) ist. Somit sind die perfekten Potenzen 2^2=4, 2^3=8 usw. Das Ziel des PIP-Projekts bestand darin, alle integralen Potenzpunkte in Familien elliptischer Kurven zu bestimmen. Die Forscher fanden unter Einsatz eines neuartigen modularen Verfahrens auf Grundlage von Andrew Wiles Arbeit über den Großen fermatschen Satz tatsächlich alle perfekten Potenzen in bestimmten elliptischen Teilbarkeitsfolgen und konnten somit die Endlichkeit der Lösung (einer zählbaren Anzahl von diesen) und auch den beim Auffinden dieser Lösungen beschrittenen Weg beweisen. Die Wissenschaftler verbesserten die bisherigen Ergebnisse für Primzahlen in elliptischen Teilbarkeitsfolgen und verallgemeinerten die Konzepte für Matrizen. Die PIP-Resultate könnten wichtige Auswirkungen auf eine Vielzahl von Themenfeldern im Zusammenhang mit der digitalen Elektronik und Computern haben, sowie den Weg zur Lösung einer völlig neuen Klasse mathematischen Gleichungen weisen.