Zrozumienie struktury ciągów okresowych
Słynny ciąg Fibonacciego, w którym każdy następny wyraz jest sumą dwóch poprzednich (1, 2, 3, 5, 8 i tak dalej), jest jednym z dużej grupy tzw. ciągów okresowych. Eliptyczne ciągi podzielności to kolejna ważna grupa takich ciągów, która rozwija się znacznie szybciej niż ciąg Fibonacciego. % Eliptyczne ciągi podzielności są przedmiotem wznowionego zainteresowania w ostatnich latach, ze względu na ich znaczenie w kryptografii (istotne dla szybkich internetowych protokołów bezpieczeństwa), i nierozstrzygalność (w odniesieniu do tego, co można obliczyć za pomocą komputera). Europejscy naukowcy wspierani funduszami projektu "Punkty całkowite potęgi na krzywych eliptycznych" (PIP) starali się zrozumieć wzorce lub struktury mogące występować w eliptycznych ciągach podzielności, koncentrując się na czystych potęgach w takich ciągach, o fundamentalnym znaczeniu dla kwestii bezpieczeństwa w Internecie. W poprzednich pracach naukowcy pokazali, że dla każdej liczby naturalnej większej niż 2 istnieje skończony zbiór punktów na krzywej eliptycznej (punkty całkowite potęgi, PIP), który zawiera tzw. punkty całkowite. Od tego czasu pokazano w wielu przypadkach, że PIP można znaleźć, poszukując idealnych potęg w eliptycznym ciągu podzielności. Potęgi idealne to liczby o postaci m^k, gdzie m jest dodatnią liczbą całkowitą większą od 1 (2, 3 itd.), a k jest większe bądź równe 2 (2, 3, 4 itd.). Stąd, potęgi idealne obejmują 2^2=4, 2^3=8 itd. Celem projektu PIP było określenie wszystkich punktów PIP w rodzinach krzywych eliptycznych. W rzeczywistości, stosując nowatorską metodę modułową, opartą na pracy Andrew Wilesa dotyczącej ostatniego twierdzenia Fermata, badacze znaleźli wszystkie idealne potęgi w pewnych eliptycznych ciągach podzielności, ukazując tym samym skończony charakter rozwiązania (policzalna ich ilość) oraz sposób ich znajdowania. Naukowcy poprawili wcześniejsze wyniki dla liczb pierwszych w eliptycznych ciągach podzielności oraz uogólnili pojęcia do macierzy. Wyniki projektu PIP mogą mieć istotny wpływ na różne zagadnienia związane z elektroniką cyfrową i informatyką, jak również mogą doprowadzić do rozwiązania całkowicie nowej klasy równań matematycznych.