Comprendere la struttura delle sequenze ricorrenti
La famosa sequenza di Fibonacci, in cui ogni termine successivo è la somma dei due precedenti (1, 2, 3, 5, 8 e così via), è una di una vasta classe di cosiddette sequenze ricorrenti. Le sequenze di divisibilità ellittiche sono un altro gruppo importante di tali sequenze che crescono molto più rapidamente rispetto alla sequenza di Fibonacci. Le sequenze di divisibilità ellittiche sono state oggetto di un rinnovato interesse negli ultimi anni a causa della loro importanza in crittografia (importanti nell'uso dei protocolli di sicurezza veloci di Internet) e indecidibilità (in relazione a ciò che è possibile calcolare con i computer). I ricercatori europei, supportati dal finanziamento del progetto PIP ("Power-integral points on elliptic curves") cercavano di comprendere eventuali pattern strutturali che potessero comparire nelle sequenze di divisibilità ellittica, concentrandosi sulle potenze pure di tali sequenze, di fondamentale importanza per la sicurezza in Internet. In precedenti lavori, gli scienziati mostravano che per ogni intero positivo superiore a 2 esiste una serie finita di punti su una curva ellittica (PIP, power integral points, punti di potenza integrale) che contiene i cosiddetti punti integrali. Da allora è stato dimostrato che, in molti casi, i PIP possono essere individuati trovando le potenze perfette in una sequenza di divisibilità ellittica. Le potenze perfette sono numeri nella forma m^k, dove m è un intero positivo maggiore di 1 (2, 3, ecc.) e k è maggiore o uguale a 2 (2, 3, 4, ecc.). Le potenze perfette sono pertanto 2^2 = 4, 2^3 = 8 e così via. L'obiettivo del progetto PIP era la determinazione di tutti i PIP sulle famiglie di curve ellittiche. In effetti, applicando un nuovo metodo modulare basato sul lavoro di Andrew Wiles riguardante l'ultimo teorema di Fermat, i ricercatori hanno trovato tutte le potenze perfette in determinate sequenze di divisibilità ellittica, dimostrando così la natura finita della soluzione (un numero finito di potenze perfette) e il modo in cui individuarle. Gli scienziati hanno migliorato i precedenti risultati per i numeri primi nelle sequenze di divisibilità ellittica e ne hanno generalizzato i concetti in matrici. I risultati del progetto PIP potrebbero avere un impatto decisivo su svariati aspetti dell'elettronica digitale e del calcolo informatico, oltre a spianare la strada alla risoluzione di una classe completamente nuova di equazioni matematiche.