Comprendre la structure des séquences récurrentes
La célèbre suite de Fibonacci, dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes précédents (1, 2, 3, 5, 8 et ainsi de suite), est l'une des grandes classes de séquences dites récurrentes. Les suites elliptiques à divisibilité forment un autre groupe important de séquences, de celles dont la valeur augmente encore plus rapidement que la suite de Fibonacci. Les séquences elliptiques à divisibilité ont fait l'objet d'un regain d'intérêt ces dernières années en raison de leur importance en cryptographie (surtout dans les protocoles de sécurité de l'Internet rapide) et dans l'indécidabilité (concernant ce qui est possible à calculer avec des ordinateurs). Des chercheurs européens soutenus par le financement du projet PIP («Power-integral points on elliptic curves») se sont employés à comprendre tout schéma ou structure susceptible de se produire dans des suites elliptiques à divisibilité en se concentrant sur les puissances pures dans ces suites, d'une importance capitale pour la sécurité sur Internet. Lors de travaux précédents, les chercheurs ont montré que pour chaque nombre entier positif supérieur à 2 il existe un ensemble de points défini sur une courbe elliptique (points intégrale de puissance, PIP) qui contient ce qu'on appelle les points intégraux. Depuis, il a été démontré que, dans de nombreux cas, il était possible de trouver les PIP en trouvant les puissances parfaites dans une suite elliptique à divisibilité. Les puissances parfaites sont des nombres de la forme m^k, où m est un nombre entier positif supérieur à 1 (2, 3, etc.) et k supérieur ou égal à 2 (2, 3, 4, etc.). Donc, les puissances parfaites sont 2^2=4, 2^3=8 et ainsi de suite. L'objectif du projet PIP était de déterminer tous les PIP sur des familles de courbes elliptiques. En fait, en appliquant une nouvelle méthode modulaire basée sur les travaux d'Andrew Wiles concernant le dernier théorème de Fermat, les chercheurs ont trouvé toutes les puissances parfaites dans certaines suites elliptiques à divisibilité, démontrant ainsi la nature définie de la solution (un certain nombre d'entre elles) et le moyen de les trouver. Ils ont amélioré les résultats précédents sur les nombres premiers dans les suites elliptiques à divisibilité et généralisé les concepts aux matrices. Les résultats du projet PIP pourraient avoir un impact important sur divers sujets portant sur l'électronique numérique et l'informatique et contribuer à trouver un nouveau moyen de solutionner une toute nouvelle classe d'équations mathématiques.