Projektbeschreibung
Auswirkungen von Schwingungen auf die Geometrie hyperbolischer Flächen erforschen
In der Spektralgeometrie wird erforscht, wie die Schwingungsfrequenzen (Eigenfrequenzen) eines Objekts und die zugehörigen Moden (Eigenfunktionen) mit seiner geometrischen Form zusammenhängen. Dieses Forschungsgebiet findet zwar in verschiedenen Bereichen Anwendung, darunter Quantenmechanik und seismische Wellen, wirft jedoch mehrere ungelöste theoretische Fragen in der Mathematik auf. Im ERF-finanzierten Projekt InSpeGMoS wird sich mit hyperbolischen Oberflächen befasst und untersucht, wie sich die Anpassung dieser Oberflächenparameter auf ihre Geometrie und ihr Spektrum auswirkt. Die Forschenden werden versuchen, spektrale und geometrische Phänomene, die in 99 % der Fälle auftreten, aus einer probabilistischen Perspektive zu beleuchten. Das Team wird neue Integrationsverfahren im Modulraum entwickeln, neue Koordinaten suchen, Mirzakhanis Studie über Volumenfunktionen generalisieren und die Theorie der Zufallsgraphen anwenden, um probabilistische Methoden in der Spektraltheorie zufälliger Oberflächen zu verbessern.
Ziel
Each physical object possesses specific frequencies of vibrations, called its eigenfrequencies, at which it enters in resonance under an external stimulus. In mathematical terms these frequencies are the eigenvalues of a linear operator; they form the spectrum of the object. Spectral geometry is concerned with understanding how the spectrum of an object, as well as the modes of vibration (eigenfunctions) associated to each eigenfrequency, are related to its geometric shape. This is a wide area of research, with applied and interdisciplinary aspects (electromagnetic waves, vibrating solids, seismic waves, wave functions in quantum mechanics... ), but also involving very theoretical mathematics, with many natural questions still open: What can we learn about the topology or geometry of an object by observing its spectrum? Can we predict if the vibrations will be localized in a small part of the object or on the contrary, if they will take place everywhere ? Can we construct an object and be sure that certain frequencies are in the spectrum, or, on the opposite, be sure to avoid certain sets of frequencies ? Can there be objects of arbitrarily large size, with no small eigenfrequencies ? Project InSpeGMoS deals with a specific mathematical model : hyperbolic surfaces. The Moduli Space is a space of parameters of these surfaces that we can tune, and observe how the geometry and the spectrum vary. In the semiclassical regime (when the wavelength is small compared to the size of the object), it is expected that certain spectral features are universal. We will adopt a probabilistic point of view: try to exhibit spectral and geometric phenomena that happen in 99$% of cases. The project is focussed on developing new integration techniques on Moduli Space. We shall look for new coordinates, generalize Mirzakhanis study of volume functions, and seek inspiration in Random Graph Theory to develop new probabilistic methods in the spectral theory of random surfaces.
Wissenschaftliches Gebiet (EuroSciVoc)
CORDIS klassifiziert Projekte mit EuroSciVoc, einer mehrsprachigen Taxonomie der Wissenschaftsbereiche, durch einen halbautomatischen Prozess, der auf Verfahren der Verarbeitung natürlicher Sprache beruht. Siehe: https://op.europa.eu/en/web/eu-vocabularies/euroscivoc.
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Schlüsselbegriffe
Programm/Programme
- HORIZON.1.1 - European Research Council (ERC) Main Programme
Thema/Themen
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(öffnet in neuem Fenster) ERC-2022-ADG
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